משפט קיילי-המילטון

משפט קיילי-המילטון (על שם המתמטיקאים ארתור קיילי וויליאם רואן המילטון) הוא משפט באלגברה לינארית, הקובע שכל מטריצה ריבועית A (מעל שדה) מאפסת את הפולינום האופייני שלה $f(\lambda )=|\lambda I-A|$ , כלומר מתקיים $f(A)=0$ . בפרט, הפולינום המינימלי של מטריצה מחלק את הפולינום האופייני שלה.

במאמר מ־1858 הראה קיילי שהמשפט נכון עבור מטריצות בגודל $2\times 2$ , והוא מדווח כי בדק את הטענה גם עבור מטריצות בגודל $3\times 3$ ; עם זאת, הוא כותב, "לא מצאתי לנכון לטרוח על הוכחה פורמלית של המשפט עבור מטריצה מכל גודל". מעט אחר־כך גילה המילטון את המשפט עבור מטריצות בגודל 4, במהלך מחקריו על אלגברת הקווטרניונים. את המקרה הכללי הוכיח פרדיננד גאורג פרובניוס ב־1878.

המשפט תקף כאשר מקדמי המטריצה מגיעים מחוג קומוטטיבי כלשהו, ונובע ממנו שכל חוגי המטריצות ${\mathrm{M}}_n(C)$ הם חוגי זהויות פולינומיות.

הוכחה

ישנן הוכחות רבות למשפט, נציג אחת מהן.

נסמן $f(x)=\sum _{k=0}^n{C}_k{x}^k$ . ראשית ידוע כי לכל מטריצה $A$ מתקיים כי $A\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)=\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)A=\det (A)I$, ולכן עבור $C=xI-A$ מתקיים כי $f(x)I=|xI-A|I=|C|I=C\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(C)=(xI-A)\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(C)=xI\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(C)-A\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)$ ומכיוון שאיברי המטריצה $C$ הם פולינומים ממעלה ראשונה ולכן גם כן איברי $\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(C)$ פולינומים אכן ממעלה גדולה או שווה ל-$n-1$. לכן ניתן לכתוב את $\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(C)$ כפולינום על מקדמים שהם מטריצות, $\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(C)={\mathrm{\Sigma }}_{k=0}^n{B}_k{x}^k$. מכיוון ש-$f(x)I=xI\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(C)-A\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)$ אז מתקיים כי $f(x)I={\mathrm{\Sigma }}_{k=1}^n{C}_{k}I{x}^k$ ו- $\text{adj}(C)-A\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)={\mathrm{\Sigma }}_{k=1}^n{B}_{k-1}-A{B}_k$ ולכן על ידי השוואת מקדמים לפולינומים זהים נקבל כי $C_{k}I=B_{k-1}-A{B}_k$ אז אם נכפול ב-A נקבל כי $C_k{A}^k=A^k{B}_{k-1}-A^{k-1}{B}_k$ ולכן על ידי הצבה בפולינום המציין נקבל טור טלסקופי שמתאפס.

מקורות

• אלגברה א', חלק שלישי, 259-262, ש. עמיצור
• אלגברה א', חלק ראשון, 167, ש. עמיצור
• היסטוריה של מטריצות ודטרמיננטות

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0