נוסחת לייבניץ ל-π

גוטפריד וילהלם לייבניץ

במתמטיקה, נוסחת לייבניץ ל־$\pi$ , ידוע גם כנוסחת גרגורי–לייבניץ על שם גוטפריד וילהלם לייבניץ וג'יימס גרגורי, היא

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{2n-1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots =\frac{\pi }{4}$

הוכחה

ניתן להוכיח טענה זו על־ידי טור טיילור של פונקציה הופכית של טנגנס (נקראת טור גרגורי):

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{du}{1+u^2}=\arctan (x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots$

ולהציב $x=1$ ונקבל את הנוסחה.

הוכחה נוספת:

$\begin{array}{rl}\frac{\pi }{4}& =\arctan (1)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+x^2}dx\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}(\sum _{k=0}^n(-x^2{)}^k+\frac{(-x^2{)}^{n+1}}{1+x^2})dx\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{2k+1}+(-1{)}^{n+1}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{2(n+1)}}{1+x^2}dx\\ & 0<\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{2(n+1)}}{1+x^2}dx<\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2(n+1)}dx=\frac{1}{2n+3}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0\\ & \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{2k+1}=\frac{\pi }{4}\end{array}$

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0