עקרון ד'אלמבר

ז'אן ד'אלמבר

עקרון ד'אַלֶמְבֶּר (D'Alembert), הידוע גם כעקרון לגרנאז'–ד'אלמבר (Lagrange–d'Alembert), הוא משפט על חוקי התנועה הבסיסיים של המכניקה הקלאסית. המשפט נקרא על שם מגלהו, הפיזיקאי הצרפתי ז'אן לה רון ד'אלמבר. העיקרון קובע כי סכום ההפרשים בין הכוחות הפועלים על המערכת לבין הנגזרת הזמנית של התנע לאורך כל העתקה וירטואלית המצייתת לאילוצי המערכת, הוא אפס. לפיכך, עקרון ד'אלמבר הוא:

$\sum _i({\mathbf{𝐅}}_i-m_i{\mathbf{𝐚}}_i)\cdot \delta {\mathbf{𝐫}}_i=0$

${\mathbf{𝐅}}_i$ הכוחות המופעלים על המערכת.

$\delta {\mathbf{𝐫}}_i$ ההעתקים הווירטואלים המצייתים לאילוצי המערכת.

$m_i$ מסות החלקיקים במערכת.

${\mathbf{𝐚}}_i$ תאוצות החלקיקים במערכת.

$m_i{\mathbf{𝐚}}_i$ הנגזרת הזמנית של התנע.

משפט זה הוא המקביל הדינמי למשפט העבודה הווירטואלית והוא כללי יותר מעקרון המילטון, שכן הוא אינו מוגבל למערכות הולונומיות. הגבלה הולונומית היא הגבלה התלויה רק בקואורדינטות ובזמן.

הוכחה

העתקה וירטואלית היא שינוי הקונפיגורציה של המערכת, כך שבניגוד להעתקה אמיתית של המערכת, הנעשית בזמן $dt$ , העתקה וירטואלית נעשית מידית. כידוע מחוקי ניוטון, סכום הכוחות על חלקיק שווים לנגזרת הזמנית של התנע שלו:

$F_i-\dot{p_i}=0$

ומכאן נקבל מידית:

$\sum _i(F_i-\dot{p_i})\delta r_i=0$

קבלת משוואת אוילר-לגראנז'

נבדיל בין כוחות ממשיים $F_i^{(a)}$ לכוחות אילוצים $f_i$:

$\sum _i(F_i^{(a)}-\dot{p_i})\delta r_i+\sum _i{f}_i\delta r_i=0$

כאשר האבר השני אשר עוסק בעבודה וירטואלית אשר מתבצעת על ידי כוחות אילוצים, חייב להתאפס. למשל חלקיק המוגבל לנוע על משטח – כוחות האילוצים פועלים בהכרח בניצב למישור, בעוד ההעתקים הווירטואלים חייבים להיות משיקים לו. הטיפול שלנו לא מתייחס למערכות בהן פועלים כוחות כגון חיכוך לאורך המשטח. למרות זאת במקרים מסוימים, כמו גלגול ללא חיכוך, התנאי של אי קיום עבודה עדיין מתקיים.

אנו רוצים עכשיו לאפס בנפרד את המקדים של כל ההעתקות הווירטואליות, אך קיום האילוצים במערכת כופה תלות בין הקוארדינטות השונות. לכן נרצה לעבור לקוארדינטות מוכללות, בלתי תלויות אחת בשנייה.

נתאר את מעבר הקוארדינטות בעזרת מערכת משוואות:

$r_i=r_i(q_1,\dots ,q_n,t)$

באופן כללי מספר הקוארדינטות המוכללות שונה ממספר הקוארדינטות הממשיות (כל אילוץ מוריד את מספר הקוארדינטות המוכללות הבלתי־תלויות).

ההעתקה הווירטואלית $\delta r_i$ קשורה להעתקה הווירטואלית $\delta q_i$ על ידי:

$\delta r_i=\sum _j\frac{\partial r_i}{\partial q_j}\delta q_j$

על ידי קשר זה נוכל להגדיר את הכוחות המוכללים $Q_j$

$\begin{array}{r}\sum _i{F}_i\delta r_i=\sum _{i,j}{F}_i\frac{\partial r_i}{\partial q_j}\delta q_j=\sum _j{Q}_j\delta q_j\\ Q_j=\sum _i{F}_i\frac{\partial r_i}{\partial q_j}\end{array}$

שים לב כי היחידות הפיזיקליות של הכוחות המוכללים אינם חייבים להיות של כוח. המגבלה היחידה עליהם היא שהמכפלה שלהם עם הקואורדינטה המוכללת תהיה בעלת יחידות של עבודה.

עוד אבר במשוואה עוסק בעבודה הנעשית על ידי הכוחות המדומים. באופן דומה לכוחות המוכללים:

$\sum _i\dot{p_i}\delta r_i=\sum _{i,j}m\ddot{r_i}\frac{\partial r_i}{\partial q_j}\delta q_j=\sum _{i,j}\frac{d}{dt}\left(m\dot{r_i}\frac{\partial r_i}{\partial q_j}\right)\delta q_j-\sum _{i,j}m\dot{r_i}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial r_i}{\partial q_j}\right)\delta q_j$

נוכל לבטא את המהירויות:

$v_i=\frac{d{r}_i}{dt}=\sum _j\frac{\partial r_i}{\partial q_j}\dot{q_j}+\frac{\partial r_i}{\partial t}$

נזכור כי $r_i$ אינם תלויים באופן מפורש ב־$\dot{q_j}$ ולכן:

$\frac{\partial v_i}{\partial \dot{q_j}}=\frac{\partial r_i}{\partial q_j}$

בנוסף לכך:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial r_i}{\partial q_j}=\sum _k\frac{{\partial }^2{r}_i}{\partial q_j\partial q_k}\dot{q_k}+\frac{{\partial }^2{r}_i}{\partial q_j\partial t}=\frac{\partial }{\partial q_j}\frac{d{r}_i}{dt}$

נציב ביטוים אלו באבר התנע ונפתח:

$\begin{array}{rl}& =\sum _{i,j}\frac{d}{dt}\left(m\dot{r_i}\frac{\partial r_i}{\partial q_j}\right)\delta q_j-\sum _{i,j}m\dot{r_i}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial r_i}{\partial q_j}\right)\delta q_j\\ & =\sum _{i,j}\frac{d}{dt}\left(m{v}_i\frac{\partial v_i}{\partial \dot{q_j}}\right)\delta q_j-\sum _{i,j}m{v}_i\frac{\partial v_i}{\partial q_j}\delta q_j\\ & =\sum _{i,j}\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m\frac{\partial v_i^2}{\partial \dot{q_j}}\right)\delta q_j-\sum _{i,j}\frac{1}{2}m\frac{\partial v_i^2}{\partial q_j}\delta q_j\\ & =\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q_j}}\right)\delta q_j-\frac{\partial T}{\partial q_j}\delta q_j\end{array}$

כאשר $T$ האנרגיה הקינטית מבוטאת בקואורדינטות המוכללות.

אם הכוח במערכת הוא משמר, ניתן להגדיר אנרגיה פוטנציאלית סקלרית אשר מקיימת:

$F_i=-\frac{\partial V}{\partial r_i}$

לכן בקואורדינטות מוכללות אבר הכוחות נראה כך:

$\sum _{i,j}-\frac{\partial V}{\partial r_i}\frac{\partial r_i}{\partial q_j}\delta q_j=\sum _j-\frac{\partial V}{\partial q_j}\delta q_j$

והכוח המוכלל ניתן על ידי:

$Q_i=-\frac{\partial V}{\partial q_j}$

נסכום את האברים:

$\sum _j(\frac{\partial (T-V)}{\partial q_j}-\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q_j}})\delta q_j=0$

כאשר $\delta q_j$ הם העתקים וירטואלים שרירותיים. לכן מתקיים לכל אבר בסכום:

$\frac{\partial (T-V)}{\partial q_j}-\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q_j}}=0$

ברוב הבעיות האנרגיה הפוטנציאלית אינה תלויה ב־$\dot{q_i}$ . לכן על ידי הוספת אבר שמתאפס נוכל לבטא מחדש את המשוואה:

$\frac{\partial (T-V)}{\partial q_j}-\frac{d}{dt}\frac{\partial (T-V)}{\partial \dot{q_j}}=0$

נגדיר את פונקציית הלגראנז'יאן כ־$L=T-V$ ובכך קיבלנו את משוואת אוילר–לגראנז':

$\frac{\partial L}{\partial q_j}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_j}}=0$

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0