משפט השונות השלמה

משפט השונות השלמה הוא משפט בתורת ההסתברות פירוק לשונות של משתנה מקרי לגורמים של תוחלת מותנית ושונות מותנית במשתנה אחר.

אם X הוא משתנה מקרי, אז משפט השונות השלמה אומר כי:

var (Y) = E (var (Y ∣ X)) + var (E (Y ∣ X)) .

הוכחה

על פי הגדרת השונות: $Var [Y] = E [Y^{2}] - E [Y]^{2}$

$= E [E [Y^{2} | X]] - E {[E [Y | X]]}^{2}$

נשכתב את הביטוי למומנט השני של Y:

$= E [Var [Y | X] + E [Y | X]^{2}] - E [E [Y | X]]^{2}$

לפי לינאריות התוחלת:

$= E [Var [Y | X]] + (E {[E [Y | X]^{2}] - E [E [Y | X]]}^{2})$

לבסוף נזהה את הביטוי בסוגריים כשונות התוחלת המותנית $E [Y | X]$ :

$= E [Var [Y | X]] + Var [E [Y | X]]$

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.