שדה המחלקה של הילברט

שדה המחלקה של הילברט הוא שדה שנועד לענות על השאלה כמה חוג השלמים של שדה מספרים הוא תחום ראשי.

הגדרה

יהי K שדה מספרים (הרחבה מממד סופי של שדה המספרים הרציונליים $\mathbb{\mathbb{Q}}$). שדה המחלקה של הילברט $E=H(K)$ הוא הרחבת גלואה האבלית הלא-מסועפת המקסימלית של K.

תכונות

• ההרחבה $H(K)/K$ היא הרחבת גלואה מממד סופי של K ומקיימת $[H(K):K]=|{\mathrm{C}\mathrm{l}}_K|=h_K$ כאשר ${\mathrm{C}\mathrm{l}}_k$ היא חבורת מחלקות האידאלים (class group) של K (חבורה זו מורכבת ממחלקות השקילות של אידאלים בחוג השלמים של K, עם יחס השקילות שאידאלים A ו-B שקולים אם הם שווים עד כדי כפל באידאלים ראשיים: $A\sim B⟺\mathrm{\exists }x,y\in {{𝒪}}_K:(x)A=(y)B$).
• חבורת מחלקות האידאלים איזומורפית לחבורת גלואה של ההרחבה: $\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(H(K)/K)\cong {\mathrm{C}\mathrm{l}}_K$.
• כל אידאל ב-${{𝒪}}_K$ הוא אידאל ראשי ב-${{𝒪}}_{H(K)}$.
• כל אידאל ראשוני P ב-${{𝒪}}_K$ מתפרק למכפלה של $h_K/f$ אידאלים ראשוניים ב-${{𝒪}}_{H(K)}$ כאשר f הוא הסדר של [P] בחבורת מחלקות האידאלים ${\mathrm{C}\mathrm{l}}_K$.

מסקנה

מתכונות אלו ברור ש-${{𝒪}}_K$ הוא תחום ראשי אם ורק אם $H(K)=K$, כלומר: הוא שדה המחלקה של עצמו. במקרה זה חבורת גלואה של ההרחבה היא טריוויאלית, ואז גם חבורת מחלקות האידאלים טריוויאלית: כלומר - כל האידאלים בחוג השלמים הם ראשיים.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.