מכפלה חצי ישרה

מכפלה חצי ישרה של חבורות היא פעולה היוצרת משתי חבורות H ו-K חבורה חדשה $G=H⋊K$.

הגדרה

יהיו H ו-K חבורות. נניח ש-K פועלת על H באמצעות אוטומורפיזם, כלומר: קיים הומומורפיזם $\rho :K\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(H)$ המתאים לכל איבר ב-K אוטומורפיזם על H. לשם קיצור נסמן $(\rho (k))(h)={}^{k}h$.

נגדיר פעולה על הקבוצה $G=H\times K=\{(h,k)|h\in H,k\in K\}$ באופן הבא:

$(h_1,k_1)\cdot (h_2,k_2):=(h_1\cdot {}^{k_1}{h}_2,k_1{k}_2)$.

זו חבורה מסדר $|G|=|H|\cdot |K|$ (שכן יש יחידה $1_G=(1_H,1_K)$ וכל איבר הפיך $(h,k{)}^{-1}=({}^{k^{-1}}{h}^{-1},k^{-1})$) שנסמנה $G=H⋊K$.

תכונות

• אם מזהים $H\cong \{(h,1)|h\in H\}$ ו-$K\cong \{(1,k)|k\in K$ אזי $H\cap K=1$ ו-H תת-חבורה נורמלית של G.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.