חבורת p

בתורת החבורות, חבורת-p היא חבורה שהסדר של כל איבר בה הוא חזקה של p. קיימת מחלקה כזו של חבורות לכל מספר ראשוני p, והן נקראות, בהתאמה, חבורות-2, חבורות-3, חבורות-5, וכן הלאה. לפי משפט קושי, חבורה סופית היא חבורת-p אם ורק אם הסדר שלה הוא חזקה של p.

התאוריה של חבורות-p היא מרכיב חשוב בתורת החבורות הסופיות, משום שתת-חבורות סילו של חבורה הן כולן חבורות-p. מאידך, בעיית המיון של חבורות-p קשה, ומבחינות מסוימות היא בלתי אפשרית.

מבנה

שוויון המחלקות מראה שהמרכז של חבורת p הוא לא-טריוויאלי. מכאן נובע (באינדוקציה על סדר החבורה) שהמנרמל של כל תת-חבורה אמיתית של חבורת-p, מכיל אותה ממש.

כל מכפלה ישרה של חבורות-p סופיות (גם לערכים שונים של p) היא חבורה נילפוטנטית, וגם ההפך נכון: כל חבורה נילפוטנטית סופית מתפרקת למכפלה ישרה של חבורות-סילו שלה.

מספרן של חבורות-p

עבור מספרים מאותו סדר גודל, מספר החבורות (עד כדי איזומורפיזם) מסדר n הוא הגדול ביותר כאשר n הוא חזקה של ראשוני. לדוגמה, יש 15 חבורות לא איזומורפיות מסדר 16 (לעומת 28 מכל הסדרים עד 15 גם יחד), 2328 חבורות מסדר 128 ו-56092 מסדר 256. Graham Higman (1960) ו-Sims (1965) הוכיחו שמספר החבורות מסדר $p^n$ גדל כמו $p^{2n^3/27}$.

יש חבורה יחידה מכל סדר $p$; 2 חבורות מסדר $p^2$; 5 חבורות מסדר $p^3$; ו-15 חבורות מסדר $p^4$. מספר החבורות מסדר $p^5$ הוא 2p ועוד גורם בגודל חסום התלוי ב-p; מספר החבורות מסדר $p^6$ הוא $3p^2$ ועוד גורם ליניארי התלוי ב-p; מספר החבורות מסדר $p^7$ הוא $3p^5$ ועוד גורם ממעלה רביעית התלוי ב-p. חישובים אלה, שנערכו בדייקנות, הביאו את Higman לשער השערה שנודעה בשם "The PORC conjecture" (על-שם ראשי התיבות Polynomials On Residue Classes), שלפיה לכל n יש N גדול מספיק כך שמספר החבורות מסדר $p^n$ (עבור p גדול מספיק) הוא פולינום מסוים של p, התלוי ב- $p(\mathrm{mod}N)$ בלבד.

החבורות מכל סדר $p^n$, עבור $n\le 7$ (וכאשר $p=2$, עבור $n\le 9$) מויינו באופן מלא. יש $49478365422$ חבורות מסדר $2^{10}$.

אוטומורפיזמים

משערים שאם P חבורת-p מסדר שאינו p או p^2, אז הסדר של חבורת האוטומורפיזמים $|\mathrm{Aut}(P)|$ מתחלק בזה של P. חבורת האוטומורפיזמים החיצונית של חבורת-p תמיד כוללת איבר מסדר p.

חבורת פרטיני והצגות לפי יוצרים ויחסים

חבורת פרטיני $\mathrm{\Phi }(P)$ של חבורת-p $P$ היא תת-החבורה הנוצרת על ידי תת-חבורת הקומוטטורים וכל חזקות-p של אברי החבורה. לכן $P/\mathrm{\Phi }(P)$ היא מהצורה $(\mathbb{\mathbb{Z}}/p\mathbb{\mathbb{Z}}{)}^d$ עבור d מתאים. במקרה זה, אפשר ליצור את החבורה על ידי d איברים, אבל לא פחות. את מספר היחסים בהצגה לפי יוצרים ויחסים אפשר לקרוא מחבורת ההומולוגיה השנייה $H_2(P,\mathbb{\mathbb{Z}}/p\mathbb{\mathbb{Z}})$: גם זו חבורת-p אבלית אלמנטרית, שהדרגה שלה היא מספר היחסים המינימלי בהצגה של החבורה. משערים שתמיד יש לחבורה הצגה עם d יוצרים ו-r יחסים.

אלגברת החבורה

לא ידוע אם אלגברת החבורה ${\mathbb{𝔽}}_p[G]$, כאשר P היא חבורת-p, קובעת את P עד-כדי איזומורפיזם.

ראו גם

• חבורה פרו-p

קישורים חיצוניים

• .html חבורת p, באתר MathWorld (באנגלית)   

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

חבורת p23771228