אי-שוויון ברנולי

באנליזה מתמטית, אי-שוויון ברנולי הוא אי-שוויון יסודי ושימושי, המאפשר להעריך את הביטוי $(1 + x)^{n}$ . האי-שוויון קובע ש- $(1 + x)^{n} \geq 1 + n x$ לכל מספר שלם $n \geq 0$ ולכל מספר ממשי $x > - 1$ . את האי-שוויון אפשר להוכיח באינדוקציה.

בעזרת אי-שוויון זה אפשר להראות שהסדרה ${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ עולה בזמן שהסדרה ${(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1}$ יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי, $e = 2.718 . . .$ , כגבולן המשותף.

תחולה

אי השוויון נכון לכל $n$ ממשי, ובלבד ש- $n \geq 1$ (את ההכללה אפשר להוכיח על ידי השוואת הנגזרות של שני האגפים). כאשר n טבעי זוגי, אי השוויון נכון לכל $x$ , וכאשר n אי-זוגי, הוא נכון לכל $- 2 < x$ (ואף מעט משמאל לנקודה 2-).

הוכחה באינדוקציה לאי-שוויון ברנולי

בסיס האינדוקציה: $n = 1$ ואכן מתקיים ש: $(1 + x)^{1} \geq 1 + 1 \cdot x$ כלומר: $1 + x \geq 1 + x$ .

הנחת האינדוקציה: נניח את נכונות הטענה עבור $n = t$ כלשהו, כלומר נניח ש: $(1 + x)^{t} \geq 1 + t x$ , נשים לב לכך שמכיוון ש- $x > - 1$ אז: $(x + 1) > 0$ , ולכן ניתן לכפול את שני אגפי האי-שוויון של ההנחה ולקבל ש: $(1 + x) \cdot (1 + x)^{t} \geq (1 + x) \cdot (1 + t x)$ כלומר: $(1 + x)^{t + 1} \geq 1 + t x + x + t x^{2}$

צעד האינדוקציה: צריך להוכיח את נכונות הטענה עבור $n = t + 1$ כלומר צריך להוכיח ש- $(1 + x)^{t + 1} \geq 1 + (t + 1) \cdot x$ , כלומר: $(1 + x)^{t + 1} \geq 1 + t x + x$ , אבל מתוך הנחת האינדוקציה הראינו כי: $(1 + x)^{t + 1} \geq 1 + t x + x + t x^{2}$ , הביטוי $t x^{2}$ חיובי (כי $x^{2} \geq 0$ וגם $t \geq 0$ ) ולכן ממילא מתקיים ש- $(1 + x)^{t + 1} \geq 1 + t x + x + t x^{2} \geq 1 + t x + x$ .

הכללה

לכל חזקה ממשית $r$ ניתן להכליל את האי-שוויון כך שעבור כל $r \notin (0, 1)$ ולכל $x > - 1$

(1 + x)^{r} \geq 1 + r x

ועבור כל $r \in [0, 1]$

(1 + x)^{r} \leq 1 + r x

כאמור, את ההכללה אפשר להוכיח בעזרת הנגזרת.

אי-שוויון ברנולי

תחולה

הוכחה באינדוקציה לאי-שוויון ברנולי

הכללה

תפריט ניווט

חיפוש