משוואת קורטווג דה וריז

משוואת קורטווג דה וריז (Korteweg-de Vries equation) או משוואת ה-KdV היא משוואה דיפרנציאלית חלקית, לא לינארית, מסדר שלישי. המשוואה פותחה כמודל של גלי ים במים רדודים. בנוסף, יש לה ישומים לסריגים המתוארים על ידי קפיצים לא לינארים וקווי העברה לא לינארים ועוד. למשוואה זו פתרונות יציבים הנקראים סוליטונים. למרות האי- לינאריות של המשוואה המשוואה פתורה אנליטית, על ידי שימוש בטרנספורמציית ה inverse scattering. המשוואה הוצגה לראשונה על ידי המתמטיקאי הצרפתי בוסינסק (Joseph Valentin Boussinesq) ב-1877, ונתגלתה מחדש על ידי גוסטאב דה-וריז ודידריק קורטווג בשנת 1895^[1]

הצורה הסטנדרטית של המשוואה:

$\frac{\partial u}{\partial t} - 6 u \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^{3} u}{\partial x^{3}} = 0$

צורות שונות של המשוואה

המשוואה המקורית של קורטווג ודה וריז שפורסמה ב-1895 ומתארת גלי ים ארוכים בעלי אי-לינאריות חלשה הינה:

$\pm \frac{\partial ζ}{\partial t} = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{g}{h}} (ζ \frac{\partial ζ}{\partial x} + \frac{2}{3} α \frac{\partial ζ}{\partial x} + \frac{1}{3} σ \frac{\partial^{3} ζ}{\partial x^{3}})$

כאשר $σ = 1 / 3 h^{3} - T h / ρ g$

הסימון $\pm \frac{\partial ζ}{\partial t}$ נועד להבדיל בין הגל שנע שמאלה וימינה.

T - הוא מתח הפנים של המים.

$ρ$ - הוא צפיפות הנוזל.

$g$ - תאוצת הכובד.

$h$ - עומק המים.

על ידי שימוש בטרנספורמציות :

$u = k_{1} ζ + k_{0}; X = k_{3} x + k_{2}; T = k_{4} t + k_{5}$

שהן מקרה פרטי של חבורת לי^[2] ומשחק בערכים של $k_{0} . . . k_{5}$ נוכל להגיע לצורות השקולות הבאות:

$\frac{\partial u}{\partial T} + (1 + u) \frac{\partial u}{\partial X} + \frac{\partial^{3} u}{\partial X^{3}} = 0$

$\frac{\partial u}{\partial T} = (1 + u) \frac{\partial u}{\partial X} + \frac{\partial^{3} u}{\partial X^{3}}$

$\frac{\partial u}{\partial T} - 6 u \frac{\partial u}{\partial X} + \frac{\partial^{3} u}{\partial X^{3}} = 0$

ועוד...

נפיצה וסוליטונים

למשוואה פתרונות יציבים של גלים סוליטריים (או סוליטונים), גלים אשר הצורה שלהם נשמרת לאורך הזמן ורק עוברים העתקה, תופעת הסוליטונים איננה ייחודית למשוואת הKdV, הצורות הללו במשוואה שלנו יהיו פונקציות אליפטיות (המרכזית שבהן cn) המייצגת את הcnoidal waves וסקאנטים היפרבולים בריבוע. את היציבות הזו אפשר להסביר אינטואיטיבית על ידי שתי תופעות מנוגדות, הלינארית מסדר גבוהה, והתופעה הלא לינארית.

התופעה הלינארית מסדר גבוהה

אם נשתמש בקירוב של אמפליטות נמוכות( $1 + u \approx 1$ ), כלומר אי לינאריות חלשה נקבל כי

$\frac{\partial u}{\partial T} + \frac{\partial u}{\partial X} + \frac{\partial^{3} u}{\partial X^{3}} = 0$

לה יחס הנפיצה (דיספרסיה) הבא : $ω = k - k^{3}$ ולכן מהירות פאזה $c = \frac{ω}{k} = 1 - k^{2}$ ומהירות חבורה $c_{g} = \frac{d ω}{d k} = 1 - 3 k^{2} < c$ ולכן חבילת גלים תשאף להתרחב.

התופעה הלא לינארית

כעת נתעלם מהאיבר בסדר גבוהה במשוואה, אך לא מהחלק הלא לינארי כלומר:

$\frac{\partial u}{\partial T} + (1 + u) \frac{\partial u}{\partial X} = 0$

על ידי שימוש בשיטת הקרקטריסטיקות נוכל להיווכח כי ללא קבלת תנאי התחלה הפתרון הכללי למשואה הינו:

$u = f (x - (1 + u) t)$

כלומר ההפרעה נעה במהירות שפרופורציונלית לאמפליטודה שלה, חלקים גבוהים ינועו מהר ונמוכים ינועו לאט, כך שהחלקים הגבוהים בהפרעה יגשרו על הפער ההתחלתי והפונקציה תהפוך תלולה יותר עד שהקירוב של המשוואה ישבר או יווצר גל הלם (בדומה לשבירה של גלי ים)

כלומר הסדר הגבוה במשואה יגרור התרחבות ואילו החלק הלא לינארי יגרור הצרות, שילוב של השניים יהיה זה שמיצב צורות מסוימותת הסוליטונים.

פתרונות יציבים ל-KdV פיתוח

נחפש עבור המשוואה הסטנדרטית פתרונות מהצורה $u (x, t) = f (X); s . t : X = x - c t$ יש לשים לב כי כרגע c איננו מוגדר בתור מהירות אבל קל להשתכנע כבר עכשיו שהוא יהיה מהירות הגל.

נציב את הפתרון במשוואה הסטנדרטית: $\frac{\partial f}{\partial t} - 6 f \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{3}} = 0$

על ידי כלל השרשרת נקבל: $- c f^{'} - 6 f f^{'} + f^{‴} = 0$

על ידי העברת אגפים וביצוע אינטגרל נקבל $f^{″} = 3 f^{2} + c f + c o n s t_{1} .$

הכפלה ב- $f^{'}$ וביצוע אינטגרל פעם נוספת $\frac{1}{2} f'^{2} = f^{3} + \frac{c}{2} f^{2} + c o n s t_{1} f + c o n s t_{2} .$

אם נניח כי $c o n s t_{1}, c o n s t_{2} = 0$

נוכל לקבל כי $X = \int \frac{d f}{f^{'}} = \int \frac{d f}{f \sqrt{2 f + c}}$ וע"י שימוש בהצבה $f = - \frac{1}{2} c s e c h^{2} (θ)$

הפתרונות היציבים יהיו מהצורה : $u (x, t) = - 0.5 c * s e c h^{2} (\frac{1}{2} \sqrt{c} (x - x_{0} - c t - c t_{0}))$

והם נקראים סוליטונים.

פתרונות יציבים נוספים, שלא תחת ההנחה שהקבועים הם אפס, יכולים להכתב על ידי פונקציות אליפטיות, ובפרט גל קונאידלי (cnoidal wave) המתואר על ידי הפונקציה האליפטית cn.

פתרון נומרי

מתברר שאת המשוואה אפשר לפתור נומרית על ידי שימוש בעזרת טרנספורם פוריה ב"שיטת השלבים" כלומר קודם את החלק הלינארי ואז את הלא לינארי.

\partial_{t} u + 3 \partial_{x} {(u)}^{2} + \partial_{x}^{3} u = 0 .

לכן הטרנספורם פוריה של המשוואה יהיה

\partial_{t} \hat{u} + 3 i k \hat{(u^{2})} - i k^{3} \hat{u} = 0

בשיטת השלבים נעסוק בחלק הלינארי בלבד

\partial_{t} \hat{u} = - 3 i k \hat{(u^{2})} + i k^{3} \hat{u}

ונפתור במדויק.

\partial_{t} \hat{u} = i k^{3} \hat{u}

בולאחר מכן בחלק הלא לינארי

\partial_{t} \hat{u} = - 3 i k \hat{(u^{2})}

את החלק הלא לינארי נפתור בצורה נומרית על ידי קידום בזמן בשיטת אוילר, הרעיון מאחורי שיטת השלבים הוא שפתרון שתי בעיות אלו במקביל, באופן בלתי תלוי במהלך הקידום בזמן בין $t$ ל $t + Δ t$ , לא משנה משמעותית את הפתרון.

ולכן סדר הפעולות מפורשות על ידי פוריה יהיה:

\begin{matrix} {\hat{u}}_{1} (k, t + Δ t) & = & \hat{u} (k, t) e^{i k^{3} Δ t} \\ \hat{u} (k, t + Δ t) & = & {\hat{u}}_{1} (k, t + Δ t) - 3 i k Δ t \hat{(u_{1}^{2})} \end{matrix}

במשוואה קיימים גם $u$ וגם $\hat{u}$ אולם הקשר ביניהם הוא פשוט טרנספורם פוריה. והמשוואה הופכת ל:

\begin{matrix} {\hat{u}}_{1} (k, t + Δ t) & = & \hat{u} (k, t) e^{i k^{3} Δ t} \\ \hat{u} (k, t + Δ t) & = & {\hat{u}}_{1} (k, t + Δ t) - 3 i k Δ t (ℱ ({(ℱ^{- 1} [{\hat{u}}_{1} (k, t + Δ t)])}^{2})) \end{matrix}

מימוש במטלאב

מימוש לדוגמה במטלאב של הפתרון הנומרי בשיטת אוילר, תוך שימוש ב'שיטת השלבים'.

N = 256;
x = linspace(-10,10,N);
delta_x = x(2) - x(1);
delta_k = 2*pi/(N*delta_x);
k = [0:delta_k:N/2*delta_k,-(N/2-1)*delta_k:delta_k:-delta_k];
c=16;
u = 1/2*c*(sech(sqrt(c)/2*(x+8))).^2;
delta_t = 0.4/N^2;
tmax = 0.1; nmax = round(tmax/delta_t);
U = fft(u);
for n = 1:nmax
% first we solve the linear part
U = U.*exp(1i*k.^3*delta_t);
%then we solve the non linear part
U = U - delta_t*(3i*k.*fft(real(ifft(U)).^2));
end

התגלית

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

פרמי פסטה אולם

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

ראו גם

קירוב בוסינסק (ציפה)

קישורים חיצוניים

שגיאות פרמטריות בתבנית:ויקישיתוף בשורה
פרמטרי חובה [ שם ] חסרים

מדיה וקבצים בנושא משוואת קורטווג דה וריז בוויקישיתוף

הערות שוליים

↑ Darrigol, O. (2005), Worlds of Flow: A History of Hydrodynamics from the Bernoullis to Prandtl, Oxford University Press, p. 84, מסת"ב 9780198568438
↑ Bluman, G & Cole, J, Similarity Methods for Differential Equations, Springer-Verlag New York, Heidelberg, Berlin, 1974, 332 pp (Vol. 13, Appl. Math. Sci.).

[1] Darrigol, O. (2005), Worlds of Flow: A History of Hydrodynamics from the Bernoullis to Prandtl, Oxford University Press, p. 84, מסת"ב 9780198568438

[2] Bluman, G & Cole, J, Similarity Methods for Differential Equations, Springer-Verlag New York, Heidelberg, Berlin, 1974, 332 pp (Vol. 13, Appl. Math. Sci.).

[1]

[2]

משוואת קורטווג דה וריז

תוכן עניינים

צורות שונות של המשוואה