חוק גאוס

על פי חוק גאוס סך השטף החשמלי דרך מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר למטען החשמלי הכלוא במעטפת. כלומר: $\Phi _{E}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$

מטען חיצוני למערכת לא משפיע על סך השטף שלה, משום שכל קו שדה שלו הנכנס אליה גם יוצא ממנה בסופו של דבר. לכן, אם נתייחס לקו שדה נכנס כחיובי וליוצא כשלילי אזי סכום קווי השדה של מטען חיצוני למעטפת שווה ל-0

מעטפת גאוס תלת ממדית סביב כדור

חוק גאוס הוא חוק יסודי באלקטרוסטטיקה, המבטא את הקשר בין שדות חשמליים והתפלגות מטענים חשמליים. החוק מוכל במשוואות מקסוול, המהוות את התשתית לתורת החשמל והמגנטיות הקלאסית.

חוק גאוס קובע כי סך השטף החשמלי דרך מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר למטען החשמלי הכלוא במעטפת. החוק נוסח על ידי קרל פרידריך גאוס בשנת 1825^{[דרוש מקור]}, ופורסם ב-1867. חוק גאוס מופיע בצורה דיפרנציאלית, ובצורה אינטגרלית, המקושרות על ידי משפט גאוס.

באופן אינטואיטיבי דוגמה טובה לחוק גאוס ניתן לדמיין בעזרת מנורה, סך שטף האור היוצא דרך הזכוכית במנורה נמצא ביחס ישר לסך האור הנוצר במנורה.

לחוק גאוס דמיון מתמטי רב לחוקי פיזיקה שונים. ניתן לנסח חוקים שונים בצורה הדומה לחוק גאוס, בהקשרים של כבידה ומגנטיות, ולמעשה כל כוח ריבועי הפוך ניתן לניסוח בצורה דומה.

חוק גאוס בניסוח אינטגרלי

הניסוח המתמטי של החוק בצורתו האינטגרלית הוא:

$\Phi =\oint _{\mathcal {S}}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{\mathcal {V}}\rho \,dV={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}$

כאשר $\Phi$ השטף החשמלי, $\mathbf {E}$ השדה החשמלי, $d\mathbf {A}$ אלמנט שטח אינפיניטסימלי על המשטח הסגור ${\mathcal {S}}$ , אשר כיוונו מוגדר כניצב למשטח, כלפי חוץ, $Q_{A}$ המטען הכלוא בתוך המשטח, $\rho$ הוא צפיפות המטען החשמלי בנקודה $V$ , $\varepsilon _{0}$ קבוע דיאלקטריות הריק ו-$\oint _{S}$ אינטגרל על המשטח ${\mathcal {S}}$ התוחם נפח ${\mathcal {V}}$ .

יש לשים לב כי הווקטור $d\mathbf {A}$ מכוון במאונך למעטפת, והשדה החשמלי מוכפל סקלרית בווקטור זה; ככל שקווי השדה מאונכים יותר למעטפת, כך השטף החשמלי גדול יותר, באופן התואם את האופי האינטואיטיבי של מושג השטף.

ביחידות cgs מנוסח החוק כך:

$\Phi =\oint _{\mathcal {S}}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =4\pi \int _{\mathcal {V}}\rho \,dV=4\pi Q_{A}$

חוק גאוס בניסוח דיפרנציאלי

ניסוחו של חוק גאוס בריק בצורתו הדיפרנציאלית הוא:

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

כאשר $\mathbf {\nabla }$ הוא אופרטור הדיברגנץ ו-$\rho$ צפיפות מטען נפחית. החוק מקשר בין דיברגנץ השדה החשמלי בנקודה במרחב לבין צפיפות המטען באותה הנקודה. בחומר, מקדם הדיאלקטריות שונה מ-$\ \epsilon _{0}$.

ביחידות cgs חוק גאוס הדיפרנציאלי נראה כך:

$\ \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho$

חוק גאוס עבור שדה מגנטי

בנוסף לחוק גאוס עבור השדה החשמלי, קיים גם חוק גאוס עבור השדה המגנטי. בניסוח האינטגרלי החוק נכתב כך: $\oint \mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0$ .

פירוש נוסחה זו הוא כי סך השטף המגנטי דרך כל מעטפת סגורה שווה ל-0. גם כאן ניתן להשתמש במשפט גאוס על מנת לעבור לצורה הדיפרנציאלית של החוק: $\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} =0$ .

המשמעות של חוק זה היא שאין לשדה המגנטי מקורות - כלומר קווי השדה אינם יוצאים או נכנסים לנקודה כלשהי במרחב, אלא יוצרים לולאות סגורות. תכונה זאת קשורה לכך שלפי כל התצפיות שנעשו עד כה, לא קיימים בטבע מונופולים מגנטיים - לצד כל קוטב מגנטי צפוני קיים קוטב דרומי (ולהפך), והם אינם ניתנים להפרדה.

שני החוקים מהווים חלק ממשוואות מקסוול.

קישורים חיצוניים

• מצגת המסבירה את העקרונות עליהם מבוסס חוק גאוס
• חוק גאוס במסגרת הזוג הראשון של משוואות מקסוול