כוח קוריוליס

הדגמה של אפקט קוריוליס

תנועת האוויר סביב שקע ברומטרי מעל איסלנד בהשפעת כוח קוריוליס

כוח קוֹרִיוֹלִיס, הנקרא גם אפקט קוריוליס, מתבטא בכך שביחס למערכת מסתובבת גופים סוטים מהתנועה בקו ישר, גם כאשר לא פועלים עליהם כוחות חיצוניים. הכוח נקרא על שם המדען הצרפתי גספאר קוריוליס, שתיאר אותו לראשונה ב-1835, אם כי עוד ב-1778 הוא הופיע בחישוביו של לפלס.

לרוב, כשמדברים על תנועה, מתכוונים לתנועה ביחס לכדור הארץ. היות שגם כדור הארץ הוא מערכת מסתובבת, יש להתחשב באפקט קוריוליס בניתוח תנועת גופים יחסית אליו, אך בדרך כלל השפעת האפקט זניחה. למשל, השפעתו של כוח קוריוליס על כיוון ירידת המים בכיור זניחה. לעומת זאת, לכוח קוריוליס תפקיד חשוב במטאורולוגיה ובחישובים ארטילריים. בהסתמך על אפקט קוריוליס, הוכיח פוקו ב-1851 כי כדור הארץ מסתובב סביב צירו (ראו מטוטלת פוקו).

כוח קוריוליס הוא כוח מדומה

כוח קוריוליס הוא כוח מדומה, המופיע כיוון שמערכת ייחוס מסתובבת איננה אינרציאלית (היא נעה באופן מורכב יותר מתנועה קווית בקצב קבוע). כמו כוחות מדומים אחרים, הוא תלוי במערכת הייחוס. במקום להתחשב בכוח קוריוליס בתנועה ביחס למערכת ייחוס מסתובבת, ניתן להשתמש במערכת לא מסתובבת ולתאר את התנועה ביחס אליה, מבלי להתחשב בכוחות מדומים. כיוון שזהו כוח מדומה, הוא אינו מתנהג לפי עקרון הפעולה והתגובה (החוק השלישי של ניוטון). כאשר עובדים במערכת מסתובבת חשוב לזכור כי ישנו כוח מדומה נוסף, הנקרא הכוח הצנטריפוגלי.

חישוב כוח קוריוליס

במקרה בו התנועה היא רק במישור הניצב לציר הסיבוב (כמו בקרוסלה, למשל), ניתן לחשב את כוח קוריוליס לפי שני הכללים הפשוטים הבאים:

גודלו של הכוח נתון על ידי $\ F_{c}=2m\omega v$

כאשר $\ \omega$ היא המהירות הזוויתית, $\ v$ היא מהירות הגוף, ו $\ m$ היא מסתו.

הכוח תמיד ניצב לכיוון המהירות, ובמישור התנועה (ניצב לציר הסיבוב); אם המערכת מסתובבת בכיוון השעון, הכוח יהיה מכוון שמאלה מהמהירות, ואם המערכת מסתובבת נגד כיוון השעון, הכוח יהיה מכוון ימינה מהמהירות (ראו אנימציה משמאל).

הערה: כיוון הסיבוב וכיוון הכוח תלויים בבחירת הצד ממנו מסתכלים על מישור התנועה. אבל נוכל לבחור צד באופן שרירותי, כיוון שהמעבר לצד השני הופך גם את כיוון הסיבוב (עם\נגד כיוון השעון) וגם את כיוון הכוח ביחס למהירות (שמאל/ימין), כך שהכלל תקף משני הצדדים.

ניתן לתאר את הקשר בין וקטור המהירות של הגוף, $\ {\vec {v}}$ , וקטור המהירות הזוויתית של המערכת $\ {\vec {\omega }}$ , וכוח קוריוליס באמצעות מכפלה וקטורית:

\ {\vec {F}}_{c}=-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}

פרט לכך שהוא תמציתי יותר, לניסוח זה יתרון נוסף: הוא מתאר את כוח קוריוליס במקרה הכללי, בו התנועה אינה מוגבלת למישור הניצב לציר הסיבוב של המערכת. מאידך, ניתן לחשב את כוח קוריוליס לפי הכללים דלעיל גם במקרה הכללי, אם מתעלמים מהרכיב של המהירות המקביל לציר הסיבוב.

הסבר אינטואיטיבי לכוח קוריוליס

נניח שאנו עומדים על קרוסלה המסתובבת בקצב קבוע נגד כיוון השעון. על הקרוסלה מצויר קו ישר ממרכז הקרוסלה החוצה. אם נדמיין שאנו מנסים ללכת לאורך הקו, נגלה שעלינו להאיץ שמאלה על מנת להתאים את מהירותנו למהירות רצפת הקרוסלה (בין אם אנחנו הולכים לכיוון מרכז הקרוסלה או ממנו החוצה). כלומר נרגיש כאילו גופנו נמשך ימינה. משיכה זו היא כוח קוריוליס.

כיוון שהמהירות הזוויתית קבועה, כאשר המשקולות מתרחקות ממרכז הסיבוב המוטות מאיצים אותן נגד כיוון השעון, כך שמהירותן גדלה. כשהן מתקרבות למרכז הסיבוב המוטות מאיצים אותן עם כיוון השעון, כך שמהירותן קטנה. כך או כך, המוטות מפעילים עליהן כוח שכיוונו שמאלה מכיוון התנועה היחסית שלהן. במערכת ייחוס המסתובבת יחד עם המוטות, הכוח שהמוטות מפעילים בדיוק מאזן את כוח קוריוליס, הפועל ימינה מכיוון התנועה

במילים אחרות, נניח שאנו עומדים מחוץ לקרוסלה ומסתכלים על גוף שנע לאורך הקו הישר ששרטטנו, ביחס לקרוסלה. כפי שהוסבר לעיל, הגוף חייב להאיץ שמאלה (מנקודת המבט שלנו, מבחוץ), ולכן חייב לפעול עליו כוח ממשי שמאלה (ר' תרשים). לעומת זאת, במערכת הייחוס של הקרוסלה, הגוף נמצא בשיווי משקל. נדמה שמופיע כוח המאזן את הכוח שמאלה. כוח מדומה זה, המכוון ימינה, הוא כוח קוריוליס.

נשים לב שהכוח ניצב למהירות, ופרופורציוני לה: ככל שנלך מהר יותר לאורך הקו, כך נצטרך להאיץ מהר יותר על מנת להתאים את עצמנו לרצפת הקרוסלה.

עד כה הסברנו מדוע כאשר מתקרבים אל מרכז הקרוסלה או מתרחקים ממנו, חווים כוח. אך מדוע אנו מצפים לחוות כוח כאשר אנו נעים סביב המרכז, מבלי להתקרב או להתרחק ממנו? ובכן, נמחק את הישר שעל רצפת הקרוסלה, ונצייר במקומו מעגל. נדמיין שאנו הולכים לאורכו במהירות קבועה. מצב זה שקול למצב שבו היינו שרויים במנוחה במערכת אחרת, שמסתובבת מהר יותר, או לאט יותר, בהתאם לאם אנו הולכים נגד כיוון השעון או עם כיוון השעון (נזכור שהקרוסלה מסתובבת נגד כיוון השעון). כלומר נצפה שהכוח הצנטריפוגלי שנחווה יגדל, או יקטן, בהתאמה. במילים אחרות, אם נחזור למערכת המקורית של הקרוסלה (זו שביחס אליה אנו נמצאים בתנועה) נצטרך להוסיף תיקון לכוח הצנטריפוגלי: כוח נוסף, שתמיד יהיה מכוון כלפי ימין (בין אם אנחנו נעים עם כיוון השעון או נגדו) - כוח קוריוליס.

תוכלו להראות, שאף על פי שההסבר לכוח נראה שונה למדי למקרה שאנו נעים על קו ישר או לאורכו של המעגל, גודלו של הכוח זהה, ונתון על ידי $2m\omega v$ .

אם נמחק גם את המעגל ונתקדם בכיוון כלשהו, נוכל לפרק את התנועה לרכיב "בכיוון המרכז" (רכיב רדיאלי) ולרכיב "על המעגל" (רכיב משיקי). כיוון שהיחס בין הכוח למהירות שווה בשני המקרים, וכיוון שהכוחות שחישבנו קודם היו ניצבים לרכיבי המהירות המתאימים ומכוונים כלפי ימין, נקבל שסכום הכוחות יהיה ניצב לסכום המהירויות, וכיוונו - ימינה. קיבלנו בדיוק את כוח קוריוליס המתואר בפסקה הקודמת.

פיתוח מתמטי

כוח קוריוליס הפועל על גופים שנעים מערבה על פני כדור הארץ. בקו המשווה הכוח פועל כלפי מטה (לכוון מרכז כדור הארץ), בעוד שבצפון כדור הארץ הכוח פועל כלפי מטה וצפונה, ובדרום כדור הארץ הכוח פועל כלפי מטה ודרומה.

הפיתוח משתמש בקשר בין הנגזרת של וקטור במערכת אינרציאלית לנגזרתו במערכת מסתובבת. עבור כל וקטור $\ {\vec {B}}$ מתקיים השוויון:

$\left({\frac {d{\vec {B}}}{dt}}\right)_{in}=\left({\frac {d{\vec {B}}}{dt}}\right)_{rot}+{\vec {\omega }}\times {\vec {B}}$ .

כאשר $\left({\frac {d{\vec {B}}}{dt}}\right)_{in}$ הוא הנגזרת של $\ {\vec {B}}$ במערכת האינרציאלית, ו $\left({\frac {d{\vec {B}}}{dt}}\right)_{rot}$ הוא הנגזרת של $\ {\vec {B}}$ במערכת המסתובבת במהירות זוויתית $\ {\vec {\omega }}$ יחסית אליה. כלומר, מציגים את הווקטור $\ {\vec {B}}$ במערכת הצירים המסתובבת וגוזרים אותו במערכת הצירים הזו, תוך התעלמות מכך שהצירים עצמם משתנים בזמן.

בפרט, עבור התאוצה והמהירות, מתקיים:

${\vec {a}}_{in}=\left({\frac {d{\vec {v}}_{in}}{dt}}\right)_{in}=\left({\frac {d{\vec {v}}_{in}}{dt}}\right)_{rot}+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{in}$ ,

$\ {\vec {v}}_{in}=\left({\frac {d{\vec {r}}}{dt}}\right)_{in}=\left({\frac {d{\vec {r}}}{dt}}\right)_{rot}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}={\vec {v}}_{rot}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}$

אם נציב את הביטוי למהירות בביטוי של התאוצה, נקבל:

${\vec {a}}_{in}=\left({\frac {d({\vec {v}}_{rot}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}})}{dt}}\right)_{rot}+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{rot}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})$
(השתמשנו בדיסטריביוטיביות של מכפלה וקטורית).

בהנחה ש ${\vec {\omega }}$ קבוע (ולכן ${\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}=0$ ) ניתן לפתוח את הנגזרת כך:

$\left({\frac {d({\vec {v}}_{rot}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}})}{dt}}\right)_{rot}=\left({\frac {d{\vec {v}}_{rot}}{dt}}+{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times {\frac {d{\vec {r}}}{dt}}\right)_{rot}={\vec {a}}_{rot}+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{rot}$

עתה נציב את הביטוי שקיבלנו, ונגיע ל:

$\ {\vec {a}}_{in}={\vec {a}}_{rot}+2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{rot}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})$ .

כאשר $\ 2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{rot}$ היא תאוצת קוריוליס, ו $\ {\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})$ היא התאוצה הצנטריפוגלית המוכרת

(גודל ביטוי זה הוא $\ \omega ^{2}r$ ).

והכוח המדומה שיצפה במערכת המסתובבת הוא

${\vec {F}}_{fict}=-m{\vec {a}}=-2m{\vec {\omega }}\times v_{rot}-m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})$ .

האיבר הראשון בביטוי זה הוא כוח קוריוליס, והאיבר השני הוא הכוח הצנטריפוגלי. אם ${\vec {\omega }}$ ניצב ל- $\ r$ אז הכוח הצנטריפוגלי הוא פשוט הביטוי המוכר:

${\vec {F}}_{cent}=m\omega ^{2}{\vec {r}}$

קל לראות מהפיתוח שאם $\;{\vec {\omega }}\;$ לא קבוע, כלומר ${\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}={\vec {\alpha }}\neq 0$ (ישנה תאוצה זוויתית), הרי מלבד כוח קוריוליס והכוח הצנטריפוגלי יש להוסיף כוח מדומה נוסף השווה ל $-m{\vec {\alpha }}\times {\vec {r}}$ , אולם הפיתוח כולו מתבסס על ההנחה שציר הסיבוב הוא קבוע, ולכן הנוסחה נכונה רק אם ${\vec {\omega }}$ משתנה רק בגודלו ולא בכיוונו משום שאז כל הפיתוח שגוי.

הסבר פשוט עם פיתוח מתמטי פשוט

כח קוריוליס מתקבל כאשר אדם הנמצא על שולי דיסקה מסתובבת מנסה לנוע במהירות קבועה בכיוון הרדיוס לכיוון מרכז המעגל. הכח יופיע במאונך לכיוון ההתקדמות,במישור הדיסקה, מימין או משמאל (תלוי בכיוון סיבוב הדיסקה). לאדם על הדיסקה זהו כח שאין לו הסבר ולכן נקרא "כח מדומה", אולם לצופה מחוץ לדיסקה הכח הינו כח ממשי מאחר שהוא רואה שהמהירות המשיקית של האדם הנע על הדיסקה (לאורך הרדיוס) משתנה, ולכן מן ההכרח שפועל כח שמקטין את המהירות המשיקית. זהו כח קוריוליס.

חשוב להבין שמבחינת האדם על הדיסקה אין לו מהירות משיקית $V_{t}$ (מבחינתו אין סיבוב) אולם יש לו מהירות רדיאלית $V_{r}$ (מהירות בכיוון הרדיוס), אולם הצופה מבחוץ רואה גם את המהירות המשיקית וגם את המהירות הרדיאלית של האדם על הדיסקה.

ההוכחה שלהלן מתבצעת תוך התבוננות מחוץ לדיסקה:

תהי θ הזווית ברדיאנים, R רדיוס הדיסקה ו-S אורך קשת המעגל (המתאימה לזווית θ).

ידוע כי את אורך הקשת ניתן לתאר על ידי הנוסחה $S=R\theta$ , ברור שלצופה מבחוץ גם R וגם θ הן פונקציות של t מאחר שהתנועת האדם על הדיסקה מתבצעת גם לאורך הרדיוס וגם בכיוון משיקי (מעצם סיבוב הדיסקה)

כדי למצוא את המהירות המשקית $V_{t}$ נבצע גזירה לפי מכפלה ${dS \over dt}={dR \over dt}\theta +R{d\theta \over dt}$ (נשים לב ${dS \over dt}=V_{t}$ , ${dR \over dt}=V_{r}$ , ${d\theta \over dt}=\omega$ מהירות זוויתית)