מנוע קרנו

מנוע קרנו הוא מושג בתרמודינמיקה המתאר את מנוע החום בעל הנצילות המקסימלית. המנוע נקרא על שם סאדי קרנו, ממניחי יסודות התרמודינמיקה.

למרות התיאור של תהליך שלכאורה ניתן לבצע אותו, מנוע קרנו איננו ניתן לבנייה בפועל.

רקע

המהפכה התעשייתית פרצה עם המצאת מנוע הקיטור על ידי ג'יימס ואט ב-1774, ואחריו פותחו סוגים נוספים של מנועי חום, אשר הרעיון שבבסיסם הוא שימוש באנרגיה כימית אגורה - בצורת חומרי דלק - שמשתחררת עם שריפת הדלק כאנרגיה תרמית (חום), שאותה אפשר להפוך לאנרגיה מכנית - עבודה. אולם עד מהרה התברר שהתהליך הופך רק חלק קטן מהחום לעבודה, והתעוררה השאלה האם זו בעיה טכנולוגית או עקרונית, ומה היעילות המרבית שאפשר להשיג בתהליך של הפיכת חום לעבודה. תשובות לשאלות אלה ניתן למצוא בעבודתו של המדען הצרפתי סאדי קרנו בשנות ה-20 של המאה ה-19. במונחים מודרניים, הוא גילה שיש גבול תאורטי לנצילותו של מנוע חום, ושנצילות זו תלויה בהפרש בין הטמפרטורה של מאגר החום של המנוע לטמפרטורת הסביבה.

בימיו של קרנו הייתה מקובלת תאורית הקלוריק שהניחה שהחום הוא זורם (כמו נוזל או גז) חסר מסה. קרנו חשב על פעולת המנוע כעל דחיפה של בוכנה על ידי הזורם ההיפותטי הזה בעת תנועתו. מושג האנרגיה ובפרט מושג העבודה לא היו קיימים בתקופתו של קרנו. הוא ניסח שני עקרונות שעמדו גם עם פיתוח התרמודינמיקה המודרנית:

1. הנצילות המרבית תושג במנוע בו כל התהליכים הם הפיכים.
2. התהליך של מעבר חום יכול להיות הפיך רק כאשר החום עובר בין שני גופים בעלי אותה טמפרטורה.

בשנות הארבעים של המאה ה-19, אחרי מותו של קרנו, ניסח מחדש אמיל קלפרון את תגליותיו של קרנו בצורה מתמטית, והביא אותם לידיעת הציבור המדעי, שכמעט שלא היה ער להן. בשנות החמישים והשישים המשיך רודולף קלאוזיוס לפתח את הרעיונות האלה, ניסח בעזרתם את החוק השני של התרמודינמיקה, והסביר אותם בעזרת מושג האנטרופיה שהמציא.

מעגל קרנו

תיאור סכמטי של ארבעת שלבי פעולת מנוע קרנו: 1. התפשטות איזותרמית 2. התפשטות אדיאבטית 3. דחיסה איזותרמית 4. דחיסה אדיאבטית

מעגל קרנו (קו שחור) וקווים איזותרמיים, המייצגים את השינויים האפשריים בטמפרטורה קבועה, (אדום) ואיזנטרופיים, המייצגים שינויים אפשריים באנטרופיה קבועה (ירוק). למעלה, המעגל מתואר במרחב של הלחץ (P) כנגד הנפח (V). השטח הכלוא בתוך המעגל הוא סה"כ העבודה שנעשתה על ידי המנוע. למטה, אותו מעגל מתואר במרחב של הטמפרטורה (T) כנגד האנטרופיה (S) השטח הכלוא בתוך המעגל הוא סה"כ החום שהפך לעבודה.

מנוע חום ממיר חום לעבודה, תוך ניצול זרימת החום בין שני מאגרי חום בטמפרטורות שונות. המנוע פועל בצורה מחזורית כך שבסוף כל מחזור (או מעגל, כפי שנהוג לכנות בהקשר זה) המצב של המנוע עצמו חוזר לקדמותו בתחילת המחזור.

מעגל קרנו מתאר פעולת מנוע בעירה חיצונית אידאלי המורכב ממאגר חום בטמפרטורה גבוהה T_H, מאגר חום בטמפרטורה נמוכה T_L והמנוע עצמו המכיל חומר שמסוגל לשנות את נפחו ולחצו (למשל גז) תוך עשיית או קבלת עבודה (למשל על ידי בוכנה). החומר שבתוך המנוע יכול להיות לסרוגין במגע תרמי עם המאגר החם, להיות במגע תרמי עם המאגר הקר, או להיות מבודד תרמית מהסביבה. כמו כן אין במערכת חיכוך, או גורמים בלתי־הפיכים אחרים.

פעולת מעגל קרנו מורכבת מארבעה שלבים:

1. התפשטות איזותרמית - בשלב זה זורם חום מהמאגר החם למנוע, כאשר המנוע נמצא לאורך כל שלב זה בטמפרטורה השווה לטמפרטורה T_H של המאגר החם. בשלב זה הגז במנוע מתפשט, וכך המנוע גם עושה עבודה בקצב כזה שהטמפרטורה תישאר קבועה.
2. התפשטות אדיאבטית - בשלב זה הגז במנוע מבודד תרמית מהסביבה, לא זורם חום אל המערכת או ממנה, ולכן האנטרופיה קבועה. הגז ממשיך להתפשט כך שהמנוע ממשיך לעשות עבודה. במהלך ההתפשטות הטמפרטורה יורדת עד שהיא מגיעה לטמפרטורה T_L של המאגר הקר.
3. התכווצות איזותרמית - בשלב זה זורם חום מהמנוע אל המאגר הקר, כאשר המנוע נמצא לאורך כל שלב זה בטמפרטורה השווה לטמפרטורה T_L של המאגר הקר. בשלב זה הגז במנוע מתכווץ, כלומר נעשית עבודה על המנוע.
4. התכווצות אדיאבטית – בשלב זה שוב המנוע מבודד תרמית. הגז ממשיך להתכווץ כך שעדין נעשית עבודה על המנוע. בגלל הבידוד ההתכווצות גורמת לחימום הגז במנוע, עד שהוא מגיע לטמפרטורה T_H של המאגר החם, והמנוע חוזר למצבו בתחילת שלב 1.

נצילות מנוע חום

נצילות של מנוע חום מוגדרת כיחס בין העבודה שהופקה ממנו לבין החום שהושקע בו, והיא תמיד קטנה מ-1.

במשך מחזור פעילות סך הכול חום בכמות Q_H זורם ממאגר חום חם אל המנוע, חלק ממנו מומר לעבודה W, והשאר, Q_L, זורם למאגר חום קר. כלומר

$W=Q_{H}-Q_{L}\!\,$.

נצילות המנוע לכן נתונה על ידי:

$\eta ={\frac {W}{Q_{H}}}={\frac {Q_{H}-Q_{L}}{Q_{H}}}=1-{\frac {Q_{L}}{Q_{H}}}$.

אי אפשר להפוך את כל החום המתקבל מהמאגר החם לעבודה, כי כאשר זורם חום בכמות dQ, לתוך המנוע כאשר הטמפרטורה המוחלטת בו היא T, עולה בו גם כמות האנטרופיה לפי:

$dS={\frac {dQ}{T}}$.

לעומת זאת יציאת אנרגיה כעבודה לא יכולה להקטין את כמות האנטרופיה. אולם בסוף המחזור של המנוע, עליו לחזור למצבו ההתחלתי, גם מבחינת כמות האנטרופיה. לכן חייב לזרום חום למאגר הקר, בשביל להוריד את האנטרופיה במנוע. מאחר שככל שהטמפרטורה נמוכה יותר אפשר לקבל את אותו שינוי באנטרופיה בעזרת כמות חום קטנה יותר, נוצר הפרש שאותו ניתן לנצל לעבודה.

כדי שהמנוע יחזור למצבו ההתחלתי, האנטרופיה שמתווספת למנוע בשלב הראשון:

$\Delta S_{H}={\frac {Q_{H}}{T_{H}}}$

צריכה להיות שווה לאנטרופיה שנגרעת ממנו בשלב השלישי:

$\Delta S_{L}={\frac {Q_{L}}{T_{L}}}$.

ומכאן

${\frac {Q_{L}}{Q_{H}}}={\frac {T_{L}}{T_{H}}}$,

ולכן יעילות המנוע תהיה:

$\eta _{car}=1-{\frac {T_{L}}{T_{H}}}$.

נצילות זו עולה ככל שההפרש בין הטמפרטורות גדול יותר, אולם אי אפשר להגיע ליעילות מושלמת. כדי להגיע לנצילות של 50% במנוע שנמצא בסביבה יומיומית (טמפרטורה של כ-300 קלווין) צריך אפוא מאגר חם בעל טמפרטורה של לפחות 600 קלווין, שהן כ-300 מעלות צלזיוס.

בשני השלבים הראשונים מבצע המנוע עבודה על הסביבה, ובשני השלבים האחרונים דווקא הסביבה היא שמבצעת עבודה על המנוע. אולם מדיאגרמת P-V (לחץ-נפח) ניתן לראות שכמות העבודה שמבוצעת על ידי המנוע בשני השלבים הראשונים גדולה מכמות העבודה שמבוצעת על המנוע בשני השלבים האחרונים.

חוק קרנו

לפי חוק קרנו, היעילות של מעגל קרנו היא הנצילות המקסימלית האפשרית עבור מנוע חום.

דבר זה מושג בזכות העובדה שהחום נכנס אל המנוע ויוצא ממנו רק כאשר אין הפרש טמפרטורות בינו לבין המאגר הרלוונטי. אם למשל, החום היה נכנס למנוע כשהטמפרטורה שלו נמוכה מטמפרטורת הסביבה, הרי שהאנטרופיה שהוא היה מרוויח הייתה גדולה מהאנטרופיה שנגרעה מהמאגר החם. לכן כדי להיפטר ממנה היה המנוע צריך להזרים כמות חום גדולה יותר למאגר הקר, ופחות אנרגיה הייתה נשארת לעבודה. לעומת זאת, אם טמפרטורת המנוע הייתה גבוהה מזו של המאגר החם, אזי על פי החוק השני של התרמודינמיקה לא יכול היה חום לזרום מהמאגר אל המנוע, כי הדבר היה מקטין את האנטרופיה הכוללת (החוק קובע שבמערכת סגורה האנטרופיה אינה יכולה לרדת. המנוע עצמו אינו מערכת סגורה, אולם ההנחה היא שהמנוע ושני מאגרי החום כן מהווים יחדיו מערכת סגורה).

אם בשלב מסוים יש תהליך שיוצר אנטרופיה נוספת מעבר לזו שהתווספה למנוע מהמאגר החם, הרי שכדי להיפטר ממנו צריך המנוע לפלוט יותר חום למאגר הקר, וכך נשארת פחות אנרגיה שניתן להוציא כעבודה, ויעילות המנוע יורדת.

מבחינה פורמלית אפשר לראות זאת אם נשים לב שהשינוי הכולל באנטרופיה מורכב רק מהשינוי באנטרופיה של שני המאגרים, ועל פי החוק השני שינוי זה לא יכול לקטון:

$\Delta S_{total}=-{\frac {Q_{H}}{T_{H}}}+{\frac {Q_{L}}{T_{L}}}\geq 0$,

ולכן

${\frac {Q_{L}}{Q_{H}}}\geq {\frac {T_{L}}{T_{H}}}$,

ומתקבל

$\ \eta ={\frac {Q_{H}-Q_{L}}{Q_{H}}}\leq 1-{\frac {T_{L}}{T_{H}}}=\eta _{car}$.

מקרר קרנו

על פי החוק השני של התרמודינמיקה יכול חום לזרום באופן ספונטני רק מאזור חם לאזור קר. אולם אפשר להזרים חום בכיוון ההפוך אם משקיעים לשם כך אנרגיה. ניתן להשיג זאת על ידי הפיכת הכיוון במעגל קרנו. כך המקרר דווקא יידחס כשהוא במגע תרמי עם המאגר החם (ובשלב שלפני כן), ויתפשט כשהוא במגע תרמי עם המאגר הקר (ובשלב שלפני כן).

כאשר המכשיר פועל בתור מקרר או מזגן הרי שהמאגר הקר הוא פנים המקרר, או החדר, והמאגר החם הוא הסביבה.

יעילות המכשיר הזה כמקרר מוגדרת על ידי היחס בין כמות החום שהוּצאה מהמאגר הקר לבין העבודה שהושקעה לשם כך:

$\gamma ={\frac {Q_{L}}{W}}={\frac {Q_{L}}{Q_{H}-Q_{L}}}\leq {\frac {T_{L}}{T_{H}-T_{L}}}$

נצילות זו יכולה להיות גדולה או קטנה מאחד. הנצילות גדלה ככל שהפרש הטמפרטורות בין הפנים לסביבה קטן, והיא הולכת וקטנה ככל שהפרש הטמפרטורות גדל. מסקנה חשובה היא כי נצילות הקירור שואפת לאפס כאשר מתקרבים לאפס המוחלט – כלומר אפשר להתקרב אליו, אך בגלל ירידת נצילות הקירור לאפס, לא ניתן לקרר עד לאפס המוחלט ממש.

במזגן אפשר להשתמש גם לחימום – זאת אם המאגר הקר הוא דווקא הסביבה, והמאגר החם הוא פנים החדר. היעילות המקסימלית שניתן לקבל בצורה כזו מוגדרת כיחס בין החום המוזרם למאגר החם לבין העבודה הדרושה לשם כך, והיא:

$\eta ={\frac {Q_{H}}{W}}={\frac {Q_{H}}{Q_{H}-Q_{L}}}\leq {\frac {T_{H}}{T_{H}-T_{L}}}$

גודל זה גדול מאחד – מאחר שהמערכת אינה הופכת את העבודה לחום, אלא משתמשת בעבודה כדי להעביר חום, ומתווספת לחום שהועבר מהמאגר הקר. מזגנים רבים יכולים גם לחמם, ולמרות שכלכלית אין זה משתלם להתקין מזגן לצורך חימום, אם מזגן כבר קיים, זה אכן משתלם יותר כלכלית להשתמש בו לחימום, ולא בתנור חימום שהופך אנרגיה חשמלית ישירות לחום.

ראו גם

• משאבת חום
• תהליך תרמודינמי