G-מודול

G-מודול הוא חבורה אבלית $M$ שעליה פועלת חבורה $G$ באופן קומפטיבילי למבנה האבלי של $M$ .‏ $G$ -מודולים משמשים להגדרת קוהומולוגיה של חבורות.

הגדרה

תהי G חבורה ותהי $M$ חבורה אבלית כך ש- $G$ פועלת של $M$ משמאל, כלומר:

G\times M\to M\quad ;\quad (g,m)\mapsto g\cdot m

כך ש- $1_{G}\cdot m=m$ ולכל $g_{1},g_{2}\in G$ ו- $m\in M$ מתקיים $g_{1}g_{2}\cdot m=g_{1}\cdot (g_{2}\cdot m)$ .

כדי ש- $M$ תהייה $G$ -מודול נדרוש שפעולת $G$ מכבדת את המבנה החבורתי האבלי של $M$ , כלומר

\forall g\in G:\forall a,b\in M:g\cdot (a+b)=g\cdot a+g\cdot b

.

במקרה זה אנו אומרים ש- $M$ הוא $G$ -מודול שמאלי. אם $G$ פועלת על $M$ מימין באופן דומה נקבל $G$ -מודול ימני. את קטגוריית ה- $G$ מודולים השמאליים מסמנים G-Mod ואת קטגוריית ה- $G$ -מודולים הימניים מסמנים Mod-G. אלו הן קטגוריות אבליות.

תכונות בסיסיות

בסעיף זה נניח שכל ה- $G$ -מודולים הם שמאליים. כל מה שנאמר כאן תקף גם ל- $G$ -מודולים ימניים.

העתקה $f:M\rightarrow N$ תיקרא מורפיזם של $G$ -מודולים או העתקה $G$ -ליניארית או $G$ -הומומורפיזם אם היא שומרת על הפעולה של $G$ (כלומר: G-equivariant). באופן מפורש:

f(a+b)=f(a)+f(b)

ו-

f(g\cdot m)=g\cdot f(m)

.

האוסף של $G$ -מודולים שמאליים והמורפיזמים שלהם יוצרים קטגוריה אבלית G-Mod. ניתן לזהות אותה עם חוג החבורה $\mathbb {Z} [G]$ .

תת- $G$ -מודול $A$ של $G$ -מודול $M$ הוא תת-חבורה $A\subseteq M$ כך ש- $G\cdot A\subseteq A$ , כלומר $g\cdot a\in A$ לכל $g\in G$ ו- $a\in A$ . במקרה כזה אפשר להגדיר את $G$ -מודול המנה $M/A$ כחבורת מנה עם הפעולה $g\cdot (m+A)=g\cdot m+A$ .

דוגמאות

$G$ חבורה כלשהי, $M=(\mathbb {Z} ,+)$ ו- $G$ פועלת טריוויאלית על $M$ , כלומר: $g\cdot z=z$ .
$G=\mathbf {GL} _{n}(F)$ החבורה הליניארית הכללית ( $F$ שדה) ו- $M=F^{n}$ מרחב וקטורי מעל $F$ מממד $n$ .
$G$ ו- $M$ הן גם חבורות טופולוגיות. במקרה זה דורשים שהפעולה של $G$ על $M$ תהיה גם רציפה.