G-מודול
G-מודול הוא חבורה אבלית $ M $ שעליה פועלת חבורה $ G $ באופן קומפטיבילי למבנה האבלי של $ M $. $ G $-מודולים משמשים להגדרת קוהומולוגיה של חבורות.
הגדרה
תהי G חבורה ותהי $ M $ חבורה אבלית כך ש-$ G $ פועלת של $ M $ משמאל, כלומר:
- $ G\times M\to M\quad ;\quad (g,m)\mapsto g\cdot m $
כך ש-$ 1_{G}\cdot m=m $ ולכל $ g_{1},g_{2}\in G $ ו-$ m\in M $ מתקיים $ g_{1}g_{2}\cdot m=g_{1}\cdot (g_{2}\cdot m) $.
כדי ש-$ M $ תהייה $ G $-מודול נדרוש שפעולת $ G $ מכבדת את המבנה החבורתי האבלי של $ M $, כלומר
- $ \forall g\in G:\forall a,b\in M:g\cdot (a+b)=g\cdot a+g\cdot b $.
במקרה זה אנו אומרים ש-$ M $ הוא $ G $-מודול שמאלי. אם $ G $ פועלת על $ M $ מימין באופן דומה נקבל $ G $-מודול ימני. את קטגוריית ה-$ G $ מודולים השמאליים מסמנים G-Mod ואת קטגוריית ה-$ G $-מודולים הימניים מסמנים Mod-G. אלו הן קטגוריות אבליות.
תכונות בסיסיות
בסעיף זה נניח שכל ה-$ G $-מודולים הם שמאליים. כל מה שנאמר כאן תקף גם ל-$ G $-מודולים ימניים.
העתקה $ f:M\rightarrow N $ תיקרא מורפיזם של $ G $-מודולים או העתקה $ G $-ליניארית או $ G $-הומומורפיזם אם היא שומרת על הפעולה של $ G $ (כלומר: G-equivariant). באופן מפורש:
- $ f(a+b)=f(a)+f(b) $ ו-$ f(g\cdot m)=g\cdot f(m) $.
האוסף של $ G $-מודולים שמאליים והמורפיזמים שלהם יוצרים קטגוריה אבלית G-Mod. ניתן לזהות אותה עם חוג החבורה $ \mathbb {Z} [G] $.
תת-$ G $-מודול $ A $ של $ G $-מודול $ M $ הוא תת-חבורה $ A\subseteq M $ כך ש-$ G\cdot A\subseteq A $, כלומר $ g\cdot a\in A $ לכל $ g\in G $ ו-$ a\in A $. במקרה כזה אפשר להגדיר את $ G $-מודול המנה $ M/A $ כחבורת מנה עם הפעולה $ g\cdot (m+A)=g\cdot m+A $.
דוגמאות
- $ G $ חבורה כלשהי, $ M=(\mathbb {Z} ,+) $ ו-$ G $ פועלת טריוויאלית על $ M $, כלומר: $ g\cdot z=z $.
- $ G=\mathbf {GL} _{n}(F) $ החבורה הליניארית הכללית ($ F $ שדה) ו-$ M=F^{n} $ מרחב וקטורי מעל $ F $ מממד $ n $.
- $ G $ ו-$ M $ הן גם חבורות טופולוגיות. במקרה זה דורשים שהפעולה של $ G $ על $ M $ תהיה גם רציפה.
G-מודול28306772Q2912125