אובייקט חבורתי

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקטגוריות, אובייקט חבורתי הוא אובייקט של קטגוריה, המקיים תכונות מופשטות של חבורות. גישה זו מאפשרת לאתר מבנים דמויי-חבורה בקטגוריות כלליות, ולטפל בהם בכלים השגרתיים של תורת הקטגוריות.

בקטגוריות רבות, האובייקטים החבורתיים הם אכן חבורות. לדוגמה, כל חבורה בקטגוריה של קבוצות היא אובייקט חבורתי. בקטגוריה של מרחבים טופולוגים, כל חבורה טופולוגית היא אובייקט חבורתי.

הגדרה

נניח כי C היא קטגוריה שבה יש אובייקט סופי - 1, וכמו כן לכל זוג אובייקטים $\,x,y\in \mathrm {Ob} (C)$ קיימת מכפלה $\,x\times y$). אובייקט חבורתי בקטגוריה C הוא אובייקט $\,G\in \mathrm {Ob} (C)$ ביחד עם מורפיזמים:

• $\,m:G\times G\rightarrow G$ (ניתן לחשוב על מורפיזם זה כעל פעולת הכפל של החבורה).
• $\,e:1\rightarrow G$ (המייצג את איבר היחידה של החבורה).
• $\,\mathrm {inv} :G\rightarrow G$ (ניתן לחשוב על מורפיזם זה כעל פעולת ההופכי של החבורה).

כך שהתכונות הבאות (המבוססות כמובן על אקסיומות החבורה) מתקיימות:

• המורפיזם m הוא אסוציאטיבי, כלומר $\,m\circ (m\times 1_{G})=m\circ (1_{G}\times m)$ כאשר $\,1_{G}:G\rightarrow G$ הוא מורפיזם הזהות של G.
• המורפיזם e מקיים: $\,m\circ (1_{G}\times e)=p_{1}$ ו- $\,m\circ (e\times 1_{G})=p_{2}$ כאשר $\ p_{1}:G\times 1\rightarrow G$ ו- $\ p_{2}:1\times G\rightarrow G$ הן ההטלות הקנוניות.
• המורפיזם inv הוא הופכי דו-צדדי לm, כלומר, אם $\,d:G\rightarrow G\times G$ היא מורפיזם האלכסון ו-$\,e_{G}:G\rightarrow G$ היא ההרכבה של המורפיזם היחיד מ-G ל-1 עם המורפיזם e, אז מתקיים: $\,m\circ (1_{G}\times \mathrm {inv} )\circ d=e_{G}$ ו- $\,m\circ (\mathrm {inv} \times 1_{G})\circ d=e_{G}$.

דוגמאות

• ניתן לראות בחבורה אובייקט חבורתי בקטגוריה של קבוצות. הפונקציה m היא פעולת הכפל בחבורה, הפונקציה e (שתחומה הוא קבוצה בעלת איבר אחד) נשלחת לאיבר היחידה של החבורה, והפונקציה inv היא הפונקציה $\,x\mapsto x^{-1}$.
• חבורה טופולוגית היא אובייקט חבורתי בקטגוריה של מרחבים טופולוגים. המורפיזמים בקטגוריה זו הם הפונקציות הרציפות.
• חבורת לי היא אובייקט חבורתי בקטגוריה של יריעות חלקות. המורפיזמים בקטגוריה זו הם הפונקציות החלקות.
• חבורה אלגברית מוגדרת להיות יריעה אלגברית שהיא גם חבורה, כך שפעולות החבורה - הכפל וההופכי, הן פונקציות רגולריות על היריעה. לפיכך, חבורה אלגברית היא אובייקט חבורתי בקטגוריה של יריעות אלגבריות. המורפיזמים בקטגוריה זו הם הפונקציות הרגולריות.