אי-שוויון מינקובסקי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באנליזה, אי-שוויון מינקובסקי הוא אי-שוויון הקרוי על שם המתמטיקאי והפיזיקאי הרמן מינקובסקי. אי-שוויון זה הוא וריאציה של אי-שוויון המשולש לנורמה במרחב אוקלידי (גם אינסוף ממדי), המוכיח כי כל פונקציה כזו היא אכן נורמה.

בממד סופי

עבור , מגדירים את נורמת של וקטור לפי הנוסחה .

אי-שוויון מינקובסקי קובע כי: , לכל שני וקטורים .

חשיבותו בכך שהוא מראה שנורמת מקיימת את אי-שוויון המשולש. מכיוון שהפונקציה הזו גם חיובית והומוגנית, היא מהווה נורמה.

הוכחה

נוכיח את נכונות אי-השוויון.

לפי אי-שוויון המשולש:

כעת, לפי אי-שוויון הולדר:

ולכן: , ולאחר צמצום נקבל .

בתורת המידה

Postscript-viewer-blue.svg ערך מורחב – מרחב Lp

בתורת המידה, נורמה- של פונקציה על מרחב מידה מוגדרת כך - . המרחב הוא אוסף כל הפונקציות עבורן ; זהו מרחב וקטורי ממשי, כלומר מרחב אוקלידי (לרוב אינסוף ממדי).

באופן זהה כלעיל ניתן להוכיח גם כאן את אי שוויון מינקובסקי - , ולכן זוהי באמת נורמה. ניתן גם להוכיח שהיא שלמה, ולכן זהו מרחב בנך. במקרה מתקבל מרחב הילברט .

המקרה הסופי הוא מקרה פרטי של מרחבי ; הוא מתקבל עבור המרחב , כאשר ו- היא מידת הספירה (כמות האיברים בקבוצה).

ראו גם

קישורים חיצוניים

  • אי-שוויון מינקובסקי, באתר MathWorld (באנגלית)   המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.
Logo hamichlol 3.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0