אי-שוויון מינקובסקי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באנליזה, אי-שוויון מינקובסקי (על-שם המתמטיקאי והפיזיקאי הרמן מינקובסקי) גרסה של אי-שוויון המשולש לנורמה במרחב אוקלידי (גם אינסוף ממדי), המוכיח כי כל פונקציה כזו היא אכן נורמה.

בממד סופי

עבור מגדירים את נורמת של וקטור לפי הנוסחה .

אי-שוויון מינקובסקי קובע כי לכל שני וקטורים .

חשיבותו בכך שהוא מראה שנורמת מקיימת את אי-שוויון המשולש. מכיוון שהפונקציה הזו גם חיובית והומוגנית, היא מהווה נורמה.

הוכחה

לפי אי-שוויון המשולש:

כעת, לפי אי-שוויון הלדר:

ולכן: , ולאחר צמצום נקבל .

בתורת המידה

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – מרחב Lp

בתורת המידה, נורמה- של פונקציה על מרחב מידה מוגדרת . המרחב הוא אוסף כל הפונקציות עבורן  ; זהו מרחב וקטורי ממשי, כלומר מרחב אוקלידי (לרוב אינסוף ממדי).

באופן זהה כלעיל ניתן להוכיח גם כאן את אי-שוויון מינקובסקי , ולכן זוהי באמת נורמה. ניתן גם להוכיח שהיא שלמה, ולכן זהו מרחב בנך. במקרה מתקבל מרחב הילברט .

המקרה הסופי הוא מקרה פרטי של מרחבי  ; הוא מתקבל עבור המרחב , כאשר ו- מידת המניה (כמות האיברים בקבוצה).

ראו גם