פונקציה

פונקציה המתאימה לכל צורה את הצבע שלה

פונקציה היא התאמה המשייכת לכל איבר בקבוצה אחת, איבר יחיד בקבוצה שנייה.

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פוּנְקְצִיָּה (נקראת גם העתקה) היא התאמה, המשייכת לכל איבר בקבוצה אחת, איבר יחיד בקבוצה שנייה. זהו מושג כללי ביותר, המופיע בכל תחומי המתמטיקה, וגם מחוץ לה. הפונקציה משמשת בין השאר ככלי לבטא תלות בין משתנים (מצב בו שני משתנים תלויים זה בזה) וככזו מאפשרת הצגה פורמלית של אופי התלות בין גדלים שונים בתחומי המדע, ההנדסה והכלכלה.

הגדרה פורמלית

פונקציה מקבוצה $X$ לקבוצה $Y$ מסומנת $f\colon X\to Y$ ובקיצור $f$.

הקבוצה $X$ קרויה תחום הפונקציה (או תחום ההגדרה של הפונקציה). זוהי קבוצת כל האיברים עליהם הפונקציה מוגדרת. הקבוצה $Y$ קרויה טווח הפונקציה. זוהי קבוצת כל האיברים שהפונקציה יכולה להתאים לאיבר מ-$X$. אומרים שהפונקציה "מקבלת" איברים מהתחום $X$ ו"מחזירה" איברים מהטווח $Y$.

מבחינה פורמלית פונקציה $f$ היא תת-קבוצה של המכפלה הקרטזית $X\times Y$ (כלומר קבוצה של זוגות סדורים שהאיבר הראשון בכל זוג הוא מ-$X$ והשני מ-$Y$) שמקיימת את שני התנאים הבאים:

• לכל $x\in X$ קיים $y\in Y$ כך ש-$(x,y)\in f$ (סריאליות ).
• לכל $x\in X$, $y_{1},y_{2}\in Y$ אם $(x,y_{1})\in f$ וגם $(x,y_{2})\in f$ אז $y_{1}=y_{2}$ (חד ערכיות).

קבוצת הזוגות הסדורים המרכיבה את $f$ קרויה גרף הפונקציה. זאת משום שבמקרה הפרטי של פונקציות ממשיות ניתן לתאר אותה באופן ויזואלי כגרף במערכת צירים קרטזית.

מסמנים $f(x)=y$ אם ורק אם $(x,y)\in f$. במקרה כזה האיבר $y$ קרוי התמונה של $x$, ו-$x$ קרוי מקור של $y$ (אך לא המקור שכן ייתכנו כמה מקורות לאיבר מסוים. אם קיים לכל איבר מקור יחיד, נאמר שהפונקציה חד-חד-ערכית). התנאי הראשון מבטיח שלכל $x$ ב-$X$ יש תמונה. התנאי השני מבטיח שתמונה זו היא יחידה. יחס שהוא גם חד ערכי וגם מלא נקרא פונקציה.

אם מוותרים על התנאי הראשון (לא לכל איבר יש בהכרח תמונה) אז מתקבלת פונקציה חלקית, ואם מוותרים על התנאי השני (ייתכנו איברים עם יותר מתמונה אחת) מתקבלת פונקציה מרובה. אם מוותרים על שני התנאים יחדיו מתקבל יחס במובנו הכללי.

שתי ההתאמות מימין אינן פונקציות: א' היא פונקציה חלקית ו-ב' היא פונקציה מרובה. רק ג' היא פונקציה אמיתית.

שתי פונקציות $f,g$, עם אותו תחום וטווח (פורמלית אין צורך להניח כי יש להן את אותו טווח, רק אותו תחום), מוגדרות כשוות רק כאשר $f(x)=g(x)$ לכל $x\in X$.

לכל $Z\subseteq X$ (תת-קבוצה כלשהי של $X$) הקבוצה $f(Z)$ (לפעמים מסומנת גם $f[Z]$) היא תת-קבוצה של $Y$ המוגדרת: $f(Z)=\{f(z)\mid z\in Z\}$. כלומר זוהי התת-קבוצה של $Y$ הכוללת את כל האיברים שהם תמונות של איברי $Z$. אומרים על $f(Z)$ שהיא התמונה של $Z$. בפרט, הקבוצה $f(X)$ הכוללת את כל האיברים ב-$Y$ שהם תמונה של איבר כלשהו ב-$X$, נקראת התמונה של הפונקציה $f$ ומסומנת לעיתים $\operatorname {Im} (f)$ או $\operatorname {im} (f)$.

לכל $Z\subseteq Y$ הקבוצה $f^{-1}(Z)$ היא תת-קבוצה של $X$ המוגדרת: $\{x\in X\mid f(x)\in Z\}$. כלומר זוהי התת-קבוצה של $X$ הכוללת את כל האיברים שהתמונה שלהם היא איבר ב-$Z$. אומרים על $f^{-1}(Z)$ שהיא המקור של $Z$.

אם $f\colon X\to Y$ היא פונקציה, ו-$Z\subseteq X$, אז הפונקציה $f|_{Z}\colon Z\to Y$ המוגדרת $f|_{Z}(z)=f(z)$, נקראת הצמצום של $f$ ל-$Z$. זוהי הפונקציה שזהה לפונקציה $f$, רק שתחומה הוא $Z$.

תכונות של תמונות ומקורות

לכל איבר ב-$X$ יש תמונה יחידה, אבל לאיבר ב-$Y$ יכולים להיות כמה מקורות או אף מקור בכלל. לכן באופן כללי לא תמיד מתקיים $f^{-1}(f(Z))=Z$ או $f(f^{-1}(Z))=Z$. היחסים הבאים תמיד מתקיימים:

• לכל $Z\subseteq Y$ מתקיים $f(f^{-1}(Z))\subseteq Z$.
• לכל $Z\subseteq X$ מתקיים $Z\subseteq f^{-1}(f(Z))$.
• $f(f^{-1}(Z))=Z$ אם ורק אם $Z\subseteq f(X)$.
• $X=f^{-1}(Y)=f^{-1}(f(X))$.

דוגמאות

1. ההתאמה המתאימה לכל אדם את גילו היא פונקציה מקבוצת האנשים לקבוצת המספרים הטבעיים, כי לכל אדם יש גיל יחיד.
2. ההתאמה המתאימה לכל מספר ממשי את ריבועו היא פונקציה מקבוצת המספרים הממשיים לעצמה. ניתן לתארה באמצעות השוויון $f(x)=x^{2}$.
3. ההתאמה המתאימה לכל אדם את המדינה שבה הוא אזרח אינה פונקציה מאחר שיש אנשים בעלי מספר אזרחויות.
4. ההתאמה המתאימה לכל אדם את מד הכושר שלו בשחמט אינה פונקציה כי יש אנשים שאינם מדורגים על ידי פיד"ה.

תכונות של פונקציות

בתחומים שונים של המתמטיקה חוקרים ומתעניינים בתכונות שונות ומגוונות של פונקציות. על פי רוב מדובר בתכונות הקשורות במבנה המוגדר על התחום או הטווח של הפונקציה (למשל רציפות של פונקציות ממשיות ושימור מרחק של איזומטריות). עם זאת ישנן מספר תכונות כלליות של פונקציות שאינן תלויות כלל במבנה של הקבוצות עליהן הן מוגדרות.

• פונקציה $\ f\colon X\to Y$ נקראת חד-חד ערכית (חח"ע) אם מתקיים: $\ f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$. כלומר אם לכל שני איברים שונים זה מזה בתחום מותאמים שני איברים שונים זה מזה בטווח. במילים אחרות, לכל איבר בטווח יש לכל היותר מקור אחד.
• פונקציה $\ f\colon X\to Y$ נקראת על אם לכל $y\in Y$ קיים $x\in X$ כך ש-$f(x)=y$. כלומר אם התמונה של הפונקציה שווה לטווח שלה ($f(X)=Y$). במילים אחרות, לכל איבר בטווח יש לפחות מקור אחד. במקרה כזה גם אומרים ש-$f$ היא פונקציה על $Y$.
• פונקציה חד-חד-ערכית ועל (חחע"ע) היא פונקציה שהיא הן חד-חד-ערכית והן על. לפונקציה שכזו מתקיים שלכל איבר בטווח יש בדיוק מקור אחד. קיום פונקציה שכזו בין שתי קבוצות מראה שהן שקולות. שם אחר לפונקציה חחע"ע $f\colon X\to Y$ הוא פונקציה הפיכה. זאת משום שלפונקציות שכאלו ניתן להגדיר פונקציה הופכית: $f^{-1}\colon Y\to X$ המקיימת $f^{-1}(y)=x$ לכל $y\in Y$, כאשר $x$ הוא האיבר היחיד ב-$X$ המקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=y} . אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f \colon X \to Y} היא פונקציה הפיכה, אז לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in X} ולכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y \in Y} מתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f^{-1}(f(x))=x} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(f^{-1}(y))=y} .
• פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f \colon X \to X} (מקבוצה לעצמה) שהיא חד-חד-ערכית ועל נקראת תמורה.
• על איבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z \in X\cap Y} (איבר שנמצא הן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} והן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} ) נאמר שהוא נקודת שבת של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f \colon X \to Y} אם מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(z) = z} .

• 
  פונקציה חח"ע אך לא על
• 
  פונקציה על אך לא חח"ע
• 
  פונקציה חח"ע ועל (הפיכה)
• 
  פונקציה לא חח"ע ולא על

מקרים בסיסיים

להלן דוגמאות לפונקציות בסיסיות המוגדרות באופן כללי לקבוצות ללא תלות במבנה מסוים.

פונקציית הזהות

ערך מורחב – פונקציית הזהות

פונקציית הזהות על קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} היא פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I \colon X \to X} המוגדרת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I(x)=x} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in X} . כאשר רוצים להדגיש שמדובר בפונקציית הזהות של קבוצה מסוימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} מסמנים את הפונקציה כ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_X} . פונקציית הזהות היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל (ולכן גם תמורה). כל איבר ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} הוא נקודת שבת שלה. הפונקציה ההופכית שלה היא היא עצמה (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f = f^{-1}} ). פונקציית הזהות היא איבר היחידה ביחס להרכבת פונקציות (כמפורט בהמשך). היא משמשת כדי להראות שכל קבוצה שקולה לעצמה.

הפונקציה הריקה

ערך מורחב – הפונקציה הריקה

הפונקציה הריקה לקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} היא הפונקציה היחידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f \colon \empty \to Y} . כלומר זוהי הפונקציה היחידה מהקבוצה הריקה לקבוצה כלשהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} . מכיוון שבקבוצה הריקה אין איברים, הפונקציה לא מקבלת שום איבר ואין אף איבר ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} שיש לו מקור ביחס אליה. הפונקציה מקיימת את התנאים שבהגדרת הפונקציה באופן ריק. הפונקציה היא חד-חד-ערכית (באופן ריק), אך אינה על, למעט במקרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y = \empty} .

פונקציה קבועה

ערך מורחב – פונקציה קבועה

בפונקציה קבועה כל הערכים מקבלים את אותה תוצאה

תצוגה גרפית של פונקציה קבועה

פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f \colon X \to Y} שמקיימת שלכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1,x_2 \in X} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x_1)=f(x_2)} נקראת פונקציה קבועה. הפונקציה הריקה היא קבועה באופן ריק. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} היא פונקציה קבועה שאינה הפונקציה הריקה, אז קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_0 \in Y} כך שלכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in X} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = y_0} (ואז מסמנים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) \equiv y_0} ). אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} אינה ריקה ואינה יחידון, אז אף פונקציה קבועה ממנה אינה חד-חד-ערכית (לעומת זאת כל פונקציה מיחידון היא חד-חד-ערכית). אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} אינה ריקה ואינה יחידון, אז פונקציה קבועה אליה אינה על.

פונקציה מציינת

ערך מורחב – פונקציה מציינת

פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1_Z \colon X \to \{0,1\}} נקראת פונקציה מציינת של תת-קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z \subseteq X} אם לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in X} מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1_Z(x) = \left\{\begin{matrix} 1 &\mbox{if}\ x \in Z \\ 0 &\mbox{if}\ x \notin Z \end{matrix}\right. }

כלומר זאת פונקציה שמחזירה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} לכל איבר של $Z$, ומחזירה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0} לכל איבר שאינו ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z} .

הפונקציה המציינת מסומנת גם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi_Z} .

פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -מקומית

פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -מקומית או פעולה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -ארית היא פונקציה מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f \colon X^n \to X} . כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X^n = \underbrace{X \times \cdots \times X}_{n \text{ times}}} היא קבוצת ה-n-יות הסדורות של איברי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} . כאשר רושמים את התמונה של פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -מקומית מקובל להשמיט את הסוגריים של ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -יה הסדורה. כלומר רושמים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x_1,\ldots,x_n)} במקום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f((x_1,\ldots,x_n))} .

פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} -מקומית נקראת גם פעולה אונארית. זוהי פשוט פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f \colon X \to X} רגילה.

המקרה החשוב ביותר הוא של פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2} -מקומית, הקרויה גם פעולה בינארית. זוהי פעולה המתאימה לכל זוג סדור של איברים בקבוצה, איבר בקבוצה. הדוגמאות המוכרות ביותר לפעולות בינאריות הן ארבע פעולות החשבון המוגדרות על קבוצות של מספרים. במקרה כזה נהוג להחליף את הסימון הסטנדרטי לתמונת הפונקציה בסימן פעולה שמופיע בין איברי הזוג. במקום לסמן $f(x_{1},x_{2})$ מסמנים $x_{1}\star x_{2}$ כאשר $\star$ הוא סימן מוסכם כלשהו שמסמן את פעולת $f$.

פונקציה $3$-מקומית נקראת פעולה טרינארית.

הרכבת פונקציות

ערך מורחב – הרכבת פונקציות

על קבוצה של פונקציות ניתן להגדיר פעולה בינארית בסיסית הקרויה הרכבת פונקציות. בהינתן פונקציה $f\colon X\to Y$ ופונקציה $g\colon Y\to Z$, מגדירים את ההרכבה שלהן $h=g\circ f$ בתור פונקציה $h\colon X\to Z$ המוגדרת לכל $x\in X$ בתור $h(x)=g(f(x))$. כלומר תוצאת ההרכבה היא פונקציה המוגדרת על ידי הפעלת $f$ על איבר ועל התמונה המתקבלת מפעילים את $g$. הרכבת פונקציות אינה פעולה קומוטטיבית (לרוב $f\circ g\neq g\circ f$ גם אם שני האגפים מוגדרים). עם זאת, זוהי פעולה אסוציאטיבית (כאשר יש שרשרת של פעולות הרכבה בזו אחרי זו, ניתן להוסיף בתוכה סוגריים היכן שרוצים בלי לשנות את התוצאה).

פונקציית הזהות היא איבר יחידה (שמאלי או ימני) ביחס להרכבת פונקציות. בהינתן פונקציה $f\colon X\to Y$ מתקיים $f\circ I_{X}=f$ וכן $I_{Y}\circ f=f$. אם $f$ הפיכה, אז מתקיים גם $f^{-1}\circ f=I_{X}$ וכן $f\circ f^{-1}=I_{Y}$.

מהתכונות שנמנו כאן נובע שקבוצת הפונקציות מקבוצה כלשהי $X$ לעצמה (פונקציות מהצורה $f\colon X\to X$) היא מונואיד ביחס לפעולת הרכבת הפונקציות. פונקציית היחידה $I_{X}$ היא איבר היחידה (הדו-צדדי) של המונואיד. האיברים ההפיכים במונואיד הם הפונקציות ההפיכות.

קבוצת הפונקציות $Y^{X}$

ערך מורחב – חזקה: קבוצות

את קבוצת הפונקציות מקבוצה $X$ לקבוצה $Y$ מסמנים $Y^{X}$. סימון זה אינו מקרי. יש קשר הדוק בין קבוצה זו לפעולת החזקה.

לכל קבוצה יש עוצמה שניתן לתארה אינטואיטיבית כ"מספר האיברים" בה. העוצמות של קבוצות סופיות הן מספרים טבעיים. לקבוצות אינסופיות יש עוצמות אינסופיות, שעשויות להיות שונות זו מזו (תורת הקבוצות מבחינה בין גדלים שונים של אינסוף). את העוצמה של קבוצה $X$ מסמנים $|X|$.

אם $X$ ו-$Y$ הן קבוצות סופיות, אז מספר הפונקציות בקבוצה $Y^{X}$ הוא מספר האיברים ב-$Y$ בחזקת מספר האיברים ב-$X$. בניסוח קומפקטי לפי הסימונים שהנהגנו זה עתה: $\left|Y^{X}\right|=|Y|^{|X|}$. הזהות נובעת משיקול קומבינטורי פשוט שמסתמך על עקרון הכפל: נניח שבקבוצה $X$ יש $n$ איברים, ובקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} יש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} איברים. נבחר איבר ראשון ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} , הוא יכול לעבור לכל אחד מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} איברים. נבחר איבר שני ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} , גם הוא יכול לעבור לכל אחד מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} איברים. וכן הלאה עד שנגיע לאיבר ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} . נכפיל את כל האפשרויות יחדיו לכל איברי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} כדי לקבל את מספר האפשרויות הכולל ונקבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m^n} .

לקבוצות אינסופיות מחליטים לקבל זהות זו כהגדרה של חזקה בין עוצמות אינסופיות. לכל זוג עוצמות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |X|,|Y|} מגדירים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |Y|^{|X|} = \left|Y^X\right|} . זוהי הגדרה מוצלחת, שכן היא מקיימת את חוקי החזקות והיא עדיין מהווה פעולת כפל מקוצר ביחס לכפל המוגדר בין עוצמות.

ראו גם

• ערכי פונקציות בוויקיפדיה
• פונקציה ממשית

קישורים חיצוניים

• Calculus - Functions - הסבר על פונקציות
• פונקציה, באתר MathWorld (באנגלית)
• מה זאת פונקציה?, באתר לרגו
• פונקציה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פונקציה30848826