אי-שוויון פלי-זיגמונד

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, אי-שוויון פלי-זיגמונד מספק חסם על ההסתברות שמשתנה מקרי אי-שלילי. הוא קטן ביחס לתוחלת ולשונות שלו. הוכחה ראשונה לאי-השוויון הזה ניתנה על ידי אנתוני זיגמונד וריימונד פלי ב-1932.

משפט: יהי Z ≥ 0 משתנה מקרי בעל שונות סופית, ויהי קבוע. אז .

הוכחה. פירוק לפי משתנים מציינים נותן . המחובר הראשון אינו עולה על . השני הוא לכל היותר לפי אי-שוויון קושי-שוורץ.

אי-שוויונות קרובים

הגרסה החד-צדדית של אי-שוויון צ'בישב נותנת חסם טוב יותר: . זהו חסם הדוק, המתקבל למשל כאשר במשתנה המקרי המקבל את הערך בסיכוי ואת הערך בסיכוי המשלים.

מקורות

  • R.E.A.C.Paley and A.Zygmund, A note on analytic functions in the unit circle, Proc. Camb. Phil. Soc. 28, 1932, 266–272