אי-שוויון קולמוגורוב

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת ההסתברות, אי-שוויון קולמוגורוב או אי-שוויון המקסימום של קולמוגורוב מתאר חסם הסתברותי למאורע שהמקסימום של סדרת הסכומים החלקיים של סדרה סופית של משתנים מקריים בלתי-תלויים גדול מערך קבוע כלשהו.

האי-שוויון קרוי על שמו של המתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב.

נוסח פורמלי

יהיו משתנים מקריים בלתי תלויים, שתוחלת כולם היא אפס ושונות כולם סופית.

נסמן לכל . אזי לכל מתקיים,

הוכחה

ניתן להראות כי הסדרה היא מרטינגל. נניח ללא הגבלת הכלליות כי וכי לכל .

נגדיר בצורה אינדוקטיבית , וכן

ניתן להראות כי הסדרה גם היא מרטינגל.

נשים לב שמתקיים,

ניתן לראות כי אותו הדבר נכון עבור הסדרה . לכן נובע על ידי אי-שוויון צ'בישב כי,

שימוש

נתבונן בהילוך מקרי פשוט על , בו כל צעד הוא משתנה מקרי בעל התפלגות אחידה בדידה . לכן השונות של כל צעד היא .

בצעד ה-, מיקומו של ההילוך הוא . לפיכך מאי-שוויון קולמוגורוב ניתן להסיק כי אם אנחנו בצעד ה-, ההסתברות שהמיקום הרחוק ביותר אליו הגיע ההילוך הוא , היא לכל היותר

לקריאה נוספת

* Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. New York: John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 0-471-00710-2.  (Theorem 22.4)
  • Feller, William (1968) [1950]. An Introduction to Probability Theory and its Applications, Vol 1 (מהדורה Third). New York: John Wiley & Sons, Inc.. xviii+509. ISBN 0-471-25708-7.