פונקציית גל
פונקציית גל היא פתרון של משוואת גלים. זוהי פונקציה של מקום וזמן והיא משמשת לתאר מערכת המתנהגת כמו גל.
השימוש הנפוץ ביותר במושג פונקציית גל הוא במכניקת הקוונטים, שם משוואת התנועה היא תמיד משוואת שרדינגר שהיא סוג של משוואת גלים.
את פונקציית הגל נהוג לסמן כ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \psi (\vec{r},t)} או לעיתים פשוט כ-.
הסבר אינטואיטיבי
אם נשים מים בתוך מֵכל ללא תנועה, גובהם יהיה אחיד במרחב ולא ישתנה בזמן. אם תיווצר תנועה (למשל על ידי זריקת אבן) יהיה גובה המים שונה בנקודות שונות וישתנה עם הזמן. תנועה כזאת נקראת גל וגובה המים, ביחס לגובה האחיד, בכל מיקום ובכל זמן, הוא פונקציית הגל. דוגמה נוספת היא צפיפות האוויר בגלי קול.
פונקציית גל במכניקת הקוונטים
במכניקת הקוונטים המצב של מערכת כלשהי מתואר על ידי וקטור במרחב הילברט הנקרא וקטור מצב. פעמים רבות מתייחסים לווקטור זה כאל פונקציית גל. במקרים כאלה, פונקציית הגל היא פתרון למשוואת הגלים של שרדינגר והיא אינה מיצגת גודל פיזיקלי מדיד, אך הערך המוחלט שלה בריבוע מייצג את ההסתברות, או צפיפות הסתברות, למצוא את המערכת במצב מסוים. כשהמערכת מתוארת על ידי גדלים כמו מיקום ותנע, לדוגמה המיקום והתנע של אלקטרון יחיד, יש לפונקציית הגל צורה דומה לזו של גלים אחרים ("קלאסים") הנזכרים למעלה. ערך זה דן בסוג זה של פונקציית גל.
לעובדה שפונקציית גל יכולה לתאר חלקיקים יש קשר לדואליות גל-חלקיק כמו גם לעובדה שלפונקציית הגל של האור ניתן ליחס תכונות חלקיקיות כמו תנע ומיקום ומכאן נובע המושג פוטון.
פורמליזם
פונקציית הגל יכולה להיות פונקציה של המיקום (והזמן) ואז נהוג לכתוב אותה כ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \psi (\vec{r},t)} . כאן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \vec{r}} - וקטור המקום ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ t} הוא הזמן. ערך הפונקציה, שנקרא לפעמים משרעת, הוא מרוכב, באופן כללי. צפיפות הסתברות נתונה על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |\psi|^2} לכן אם נרצה לחשב את ההסתברות של המערכת (לדוגמה חלקיק) להימצא בתחום V כלשהו צריך לסכום על צפיפות ההסתברות בתוך התחום כלומר:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{Prob}(\vec{r} \in V) = \int_V | \psi(\vec{r})|^2 dV = \int_V | \psi(\vec{r})|^2 d^3 r}
מכיוון שהמערכת חייבת להיות במיקום כלשהו חייב להתקיים
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \int | \psi(\vec{r})|^2 dV = \int | \psi(\vec{r})|^2 d^3 r = 1}
כשהאינטגרל הוא על כל המרחב. תנאי זה נקרא הנירמול של פונקציית הגל.
תמונה פשוטה יותר מתקבלת אם נתבונן בחלקיק היכול לנוע רק בכיוון אחד, נאמר ציר ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x} . זוהי מערכת חד ממדית, כלומר כדי לתאר את המערכת כל שצריך הוא להגיד מה המיקום של החלקיק על ציר ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x} . תיאור קלאסי של המערכת יינתן על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x(t)} , המיקום של החלקיק כפונקציה של הזמן. התיאור הקוונטי הוא דרך פונקציית הגל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \psi (x,t)} . אם נרצה לדעת איפה החלקיק בזמן כלשהו נוכל לחשב את ההסתברות שלו להיות בכל נקודה. מכיוון ש הוא רציף יש אינסוף (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\ \aleph} ) נקודות בכל תחום והסיכוי של החלקיק להיות בנקודה מסוימת שואף לאפס, אך הסיכוי של החלקיק להיות בתחום -הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ b > x > a} הוא סופי ונתון על ידי
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{Prob}( a \le x \le b) = \int_a^b | \psi(x)|^2 dx}
כשתנאי הנירמול הוא:
- 1 = הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \int_{-\infty}^\infty | \psi(x)|^2 dx}
מרחב המיקום לעומת מרחב התנע
גל מישורי, במימד אחד נתון על ידי : הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \psi (x) = e^{i k x}} כש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ k } הוא מספר הגל והפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \lambda = {2 \pi \over k}} הוא אורך הגל. לפי השערת דה ברויי תנע הגל הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p = \hbar k = \hbar {2 \pi \over \lambda}}
ניתן לרשום את פונקציית הגל כסופרפוזיציה של גלים מישוריים:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \psi (x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int{ \tilde{\psi} (p) e^{{i \over \hbar} p x} dp}}
כש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \tilde{\psi} (p)} היא התמרת פוריה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \psi (x)} . לכן, הפונקציה נותנת גם היא תיאור שלם של המערכת כשההסתברות למצוא את המערכת עם תנע בתחום -הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p_1 > p > p_2} b נתונה על ידי
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{Prob}( p_1 > p > p_2) = \int_{p_1}^{p_2} | \tilde{\psi} (p)|^2 dp}
כשתנאי הנירמול הוא:
- 1 = הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \int_{-\infty}^\infty | \tilde{\psi} (p)|^2 dp}
כתיבה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x } ו-k כווקטורים מכלילה את הרעיון לשלושה ממדים. אם נרצה לתאר חלקיק הנמצא במיקום מאד מדויק, נכתוב את פונקציית הגל, במרחב המיקום, כפונקציית דלתא ולכן במרחב התנע הפונקציה תהיה קבועה (התמרת פוריה של פונקציית דלתא). משמעות הדבר שתנע החלקיק אינו מוגדר מכיוון שהוא יכול לקבל כל ערך באותה הסתברות. ובאותו אופן, לחלקיק בעל תנע מאד מדויק לא יהיה מיקום מוגדר. זוהי המחשה של עקרון אי הוודאות.
התפתחות המושג
התפתחות מושג פונקציית הגל באה מההתנהגות הכמו-גלית של חלקיקים, שנצפתה בניסויים. בניסויים אלה נראה שהאלקטרון מתנהג כאילו מיקומו "מרוח" על כל המרחב והוא נמצא במספר רב של מקומות בו-זמנית כל עוד לא מודדים באיזה מקום הוא נמצא.
בעקבות ניסוי שני הסדקים ועבודתו של לואי דה ברויי נוסח הרעיון שאת מיקומו של חלקיק ניתן לתאר כהרכבה של גלים שתיצור חבורת גלים הממורכזת סביב מיקומו ה"קלאסי" של החלקיק. שיקולים סמי-קלאסיים על תכונות של גלים הביאו להצעת הצורה הכללית של פונקציית הגל של חלקיק חופשי:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \psi (\vec{r}) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int{ \phi (\vec{p}) e^{{i \over \hbar} \vec{p} \cdot \vec{r}} \ dp}}
כמו גל, גם הפתרון הכללי הוא בעצם טרנספורם פורייה על מרחב דואלי שלא תלוי במיקום - זהו מרחב התנע (ראה מכניקה המילטוניאנית). תיאור החלקיק על ידי פונקציית גל הסביר מדוע אלקטרונים יכלו לבצע התאבכות.
כדי לקבל את התפתחות פונקציית הגל בזמן, הפעיל שרדינגר שוב שיקול סמי-קלאסי. עבור גל אור מקוונטט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A = e^{i(kx - \omega t)}} מתקיימים הקשרים הבאים:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ E = p c} כאשר E אנרגיה, p הוא תנע ו-c מהירות האור.
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ E = \hbar \omega \quad \quad ; \quad \quad \hbar k = p}
אך עבור חלקיק חופשי מתקיים ש
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ E = \frac{\vec{p}^2}{2m} = \frac{p^2}{2m} }
ולכן
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi (t, \vec{r}) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int{ \phi (\vec{p}) e^{{i \over \hbar} ( \vec{p} \cdot \vec{r} - E_p t)} \ dp} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int{ \phi (\vec{p}) e^{{i \over \hbar} ( \vec{p} \cdot \vec{r} - {p^2 \over 2m} t)} \ dp} }
בבסיס המקום (r), אופרטור התנע מוצג כ הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p = \frac{\hbar}{i} \vec{\nabla}} ולכן משוואת שרדינגר עבור חלקיק חופשי היא:
(ניתן לראות זאת על ידי חישוב מפורש של שני אגפי המשוואה ושימוש בתכונות של נגזרות חלקיות).
כדי להכליל עבור מקרה בו החלקיק איננו חופשי, אלא נתון תחת השפעת פוטנציאל, מוסיפים את הפוטנציאל למשוואה באופן הבא:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ i \hbar \frac{ \partial \psi (t,\vec{r})}{\partial t} = \frac{- \hbar ^2}{2m} \nabla ^2 \psi (t,\vec{r}) + V(\vec{r}) \psi (t,\vec{r})}
הביטוי באגף ימין הוא ההמילטוניאן H שפועל על פונקציית הגל ומכך ניתן להסיק את הצורה הכללית של משוואת שרדינגר.
קריסת פונקציית הגל
ערך מורחב – קריסת פונקציית הגל
קריסת פונקציית הגל היא תיאור שניתן על פי פרשנות לא מוכחת של תורת הקוונטים, פרשנות קופנהגן. זוהי התופעה שבה בכל עת שמבצעים מדידה, פונקציית הגל עוברת ממצב של סופרפוזיציה למצב עצמי מובחן. קריסת פונקציית הגל היא תוספת חיצונית למכניקת הקוונטים ולא חלק מהפורמליזם של שרדינגר, ונילס בוהר הוסיף אותה על מנת להסביר את התופעה הניסיונית שבה כאשר מבצעים מדידה כלשהי על חלקיק קוונטי (כגון אלקטרון), אחרי שנמדד ערך מסוים, מדידות חוזרות יראו רק את הערך הזה ולא שום ערך אחר.
בסימון דיראק אפשר לבטא את קריסת פונקציית הגל כך:
נניח שלפני המדידה קיים חלקיק בסופרפוזיציה של שלושה מצבים עצמיים (בלי הגבלת כלליות, שווי הסתברות):
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ | \psi \rang = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( | 1 \rang +| 2 \rang + | 3 \rang \right) }
נניח שמבצעים עליו מדידה, שמבדילה בין שלושת המצבים העצמיים הללו (מדידה כזאת אפשר לייצג על ידי אופרטור השלכה שהוא אינו יוניטרי). אם במדידה מקבלים את הערך העצמי "2", אזי אחרי המדידה מצב החלקיק הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ | 2 \rang} והתוצאה של כל מדידה נוספת תהיה תמיד "2".
קריסת פונקציית הגל מתרחשת רק לפי פרשנות קופנהגן. קיימים פירושים אחרים למכניקת הקוונטים, שבהם פונקציית הגל איננה קורסת, אחד מהם הוא פירוש העולמות המרובים.
