אריזת מעגלים בתוך מעגל

אריזת מעגלים בתוך מעגל היא בעיית אריזה דו־ממדית שמטרתה לארוז את מעגלי היחידה במעגל עם הרדיוס הקטן ביותר האפשרי.

טבלת פתרונות, $1\leq n\leq 20$

אם קיים יותר מפתרון אופטימלי אחד, כולם מוצגים.^[1]

$n$	רדיוס המעגל התוחם $r$	צפיפות $n\!/r^{2}$	אופטימליות
1	1	1.0	טריוויאלי
2	2	0.5	טריוויאלי
3	2.155... $1+{\frac {2}{\sqrt {3}}}$	0.6466...	טריוויאלי
4	2.414... $1+{\sqrt {2}}$	0.6864...	טריוויאלי
5	2.701... $1+{\sqrt {2\left(1+{\frac {1}{\sqrt {5}}}\right)}}$	0.6854...	הוכח על ידי גרהאם (1968)^[2]
6	3	0.6666...	הוכח על ידי גרהאם (1968)^[2]
7	3	0.7777...	טריוויאלי
8	3.304... $1+{\frac {1}{\sin {\frac {\pi }{7}}}}$	0.7328...	הוכח על ידי U.Pirl (1969)^[3]
9	3.613... $1+{\sqrt {2\left(2+{\sqrt {2}}\right)}}$	0.6895...	הוכח על ידי U.Pirl (1969)^[3]
10	3.813...	0.6878...	הוכח על ידי U.Pirl (1969)^[3]
11	3.923... $1+{\frac {1}{\sin {\frac {\pi }{9}}}}$	0.7148...	הוכח על ידי מאליסן (1994)^[4]
12	4.029...	0.7392...	הוכח על ידי פודור (2000)^[5]
13	4.236... $2+{\sqrt {5}}$	0.7245...	הוכח על ידי פודור (2003)^[6]
14	4.328...	0.7474...	הוכח על ידי Ekanayake and LaFountain (2024).^[7]
15	4.521... $1\!+\!{\sqrt {6\!+\!{\frac {2}{\sqrt {5}}}\!+\!4{\sqrt {1\!+\!{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}}$	0.7339...	שוער כאופטימלי על ידי U.Pirl (1969).^[8]
16	4.615...	0.7512...	שוער כאופטימלי על ידי גולדברג (1971).^[8]
17	4.792...	0.7403...	שוער כאופטימלי על ידי רייס (1975).^[8]
18	4.863... $1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}$	0.7609...	שוער כאופטימלי על ידי U.Pirl (1969), ונוספו סידורים נוספים על ידי Graham, Lubachevsky, Nurmela, and Östergård (1998).^[8]
19	4.863... $1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}$	0.8032...	הוכח על ידי פודור (1999)^[9]
20	5.122...	0.7623...	שוער כאופטימלי על ידי גולדברג (1971).^[8]

מקרים מיוחדים

רק 26 אריזות אופטימליות נחשבות כקשיחות (ללא עיגולים שיכולים "לשקשק").

המספרים המודגשים הם ראשוניים:

הוכח עבור n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 19
משוער עבור n = 15, 16, 17, 18, 22, 23, 27, 30, 31, 33, 37, 61, 91

הערות שוליים

↑ Friedman, Erich, "Circles in Circles", Erich's Packing Center, אורכב מ-המקור ב-2020-03-18
^ ^2.0 ^2.1 R.L. Graham, Sets of points with given minimum separation (Solution to Problem El921), Amer. Math. Monthly 75 (1968) 192-193.
^ ^3.0 ^3.1 ^3.2 U. Pirl, Der Mindestabstand von n in der Einheitskreisscheibe gelegenen Punkten, Mathematische Nachrichten 40 (1969) 111-124.
↑ H. Melissen, Densest packing of eleven congruent circles in a circle, Geometriae Dedicata 50 (1994) 15-25.
↑ F. Fodor, The Densest Packing of 12 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 41 (2000) ?, 401–409.
↑ F. Fodor, The Densest Packing of 13 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 44 (2003) 2, 431–440.
↑ Ekanayake, Dinesh; LaFountain, Douglas. "Tight partitions for packing circles in a circle" (PDF). Italian Journal of Pure and Applied Mathematics. 51: 115–136.
^ ^8.0 ^8.1 ^8.2 ^8.3 ^8.4 Graham RL, Lubachevsky BD, Nurmela KJ, Ostergard PRJ. Dense packings of congruent circles in a circle. Discrete Math 1998;181:139–154.
↑ F. Fodor, The Densest Packing of 19 Congruent Circles in a Circle, Geom. Dedicata 74 (1999), 139–145.

^[1] ^[2] ^[3] ^[4] ^[5] ^[6] ^[7] </references>

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

אריזת מעגלים בתוך מעגל40248591Q5121498

↑ F. Fodor, The Densest Packing of 12 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 41 (2000) ?, 401–409.
↑ F. Fodor, The Densest Packing of 13 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 44 (2003) 2, 431–440.
↑ F. Fodor, The Densest Packing of 19 Congruent Circles in a Circle, Geom. Dedicata 74 (1999), 139–145.
↑ R.L. Graham, Sets of points with given minimum separation (Solution to Problem El921), Amer. Math. Monthly 75 (1968) 192-193.
↑ Graham RL, Lubachevsky BD, Nurmela KJ, Ostergard PRJ. Dense packings of congruent circles in a circle. Discrete Math 1998;181:139–154.
↑ U. Pirl, Der Mindestabstand von n in der Einheitskreisscheibe gelegenen Punkten, Mathematische Nachrichten 40 (1969) 111-124.
↑ H. Melissen, Densest packing of eleven congruent circles in a circle, Geometriae Dedicata 50 (1994) 15-25.

[:0-1] Friedman, Erich, "Circles in Circles", Erich's Packing Center, אורכב מ-המקור ב-2020-03-18

[Graham68-2] 2.0 ^2.1 R.L. Graham, Sets of points with given minimum separation (Solution to Problem El921), Amer. Math. Monthly 75 (1968) 192-193.

[Pirl-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 U. Pirl, Der Mindestabstand von n in der Einheitskreisscheibe gelegenen Punkten, Mathematische Nachrichten 40 (1969) 111-124.

[Melissen-4] H. Melissen, Densest packing of eleven congruent circles in a circle, Geometriae Dedicata 50 (1994) 15-25.

[Fodor1-5] F. Fodor, The Densest Packing of 12 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 41 (2000) ?, 401–409.

[Fodor2-6] F. Fodor, The Densest Packing of 13 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 44 (2003) 2, 431–440.

[7] Ekanayake, Dinesh; LaFountain, Douglas. "Tight partitions for packing circles in a circle" (PDF). Italian Journal of Pure and Applied Mathematics. 51: 115–136.

[Graham98-8] 8.0 ^8.1 ^8.2 ^8.3 ^8.4 Graham RL, Lubachevsky BD, Nurmela KJ, Ostergard PRJ. Dense packings of congruent circles in a circle. Discrete Math 1998;181:139–154.

[Fodor3-9] F. Fodor, The Densest Packing of 19 Congruent Circles in a Circle, Geom. Dedicata 74 (1999), 139–145.

[Fodor1-10] F. Fodor, The Densest Packing of 12 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 41 (2000) ?, 401–409.

[Fodor2-11] F. Fodor, The Densest Packing of 13 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 44 (2003) 2, 431–440.

[Fodor3-12] F. Fodor, The Densest Packing of 19 Congruent Circles in a Circle, Geom. Dedicata 74 (1999), 139–145.

[Graham68-13] R.L. Graham, Sets of points with given minimum separation (Solution to Problem El921), Amer. Math. Monthly 75 (1968) 192-193.

[Graham98-14] Graham RL, Lubachevsky BD, Nurmela KJ, Ostergard PRJ. Dense packings of congruent circles in a circle. Discrete Math 1998;181:139–154.

[Pirl-15] U. Pirl, Der Mindestabstand von n in der Einheitskreisscheibe gelegenen Punkten, Mathematische Nachrichten 40 (1969) 111-124.

[Melissen-16] H. Melissen, Densest packing of eleven congruent circles in a circle, Geometriae Dedicata 50 (1994) 15-25.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

אריזת מעגלים בתוך מעגל

תוכן עניינים

טבלת פתרונות, $1\leq n\leq 20$

מקרים מיוחדים

הערות שוליים

קישורים חיצוניים

תפריט ניווט

אריזת מעגלים בתוך מעגל

טבלת פתרונות, 1 ≤ n ≤ 20 {\displaystyle 1\leq n\leq 20}

מקרים מיוחדים

הערות שוליים

קישורים חיצוניים

תפריט ניווט

חיפוש

טבלת פתרונות, $1\leq n\leq 20$