בעיית שטיינר

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Mplwp Steiners problem.svg

בעיית שטיינר היא בעיה שהציג הגאומטרן השווייצרי יאקוב שטיינר ב-1850, בירחון המדעי של August Leopold Crelle. הבעיה בניסוחו של שטיינר (בתרגום מגרמנית לעברית):

"אם מחלקים מספר נתון כלשהו לשני חלקים, ידוע שמכפלתם תהיה הגדולה ביותר אם החלקים יהיו שווי גודל. עקרון זה נשמר כאשר מחלקים מספר כלשהו a ל-3, 4, 5 ... n חלקים. כיוון שהמכפלות המתקבלות במקרים השונים האלה הן שונות בגודלן, נשאלת איפוא השאלה, לכמה חלקים שווי גודל, או באופן כללי לכמה חלקים בכלל יש לחלק מספר כלשהו a, כך שמכפלתם של החלקים תהיה הגדולה ביותר מכל המכפלות, דהיינו מקסימום של כל המקסימה?"

שטיינר שאל על "המכפלה המקסימלית של החלקים של מספר", כלומר, מהו הערך המקסימלי של המכפלה , כאשר הם חלקים של מספר קבוע, n. לפי אי שוויון הממוצעים, הערך המקסימלי מתקבל כאשר כל החלקים שווים זה לזה (ול-m), וערכו . מכאן עולה כי כדי למצוא את הערך המקסימלי (עבור n נתון) יש לבחור m כך ש- יהיה מקסימלי. שטיינר מציין כי "קל למצוא" שהמקסימום מתקבל כאשר m שווה לבסיס הלוגריתם הטבעי (ואכן, זהו תרגיל בסיסי בחשבון אינפיניטסימלי).

במכתבו לירחון הוסיף שטיינר שלכל מספר קיים בן-זוג יחיד , שעבורו (במספרים שלמים יש למשוואה זו פתרון יחיד: ).

לקריאה נוספת

  • Jacob Steiner, Works, Vol. 2, p. 423.
  • Heinrich Dorrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics, 1965, problem 89. (באנגלית)

קישורים חיצוניים

בעיית שטיינר, באתר MathWorld (באנגלית)

  • Steiner, J. (1850), "Über das größte Product der Theile oder Summanden jeder Zahl" (PDF), Crelle, 40: 208 (בגרמנית)
P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.
Logo hamichlol.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0