נקודת קיצון

מתוך המכלול
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
נקודות קיצון מקומיות וגלובליות עבור הפונקציה

במתמטיקה, נקודת קיצון (נקודת אקסטרמום) של פונקציה סקלרית היא נקודה שבה ערכה הוא גבוה ביותר או נמוך ביותר. יש להבדיל בין נקודות קיצון מקומיות ובין נקודות קיצון גלובליות (מוחלטות). נקודת קיצון גלובלית היא כזו שהערך בה הוא הגדול ביותר (או הנמוך ביותר) בכל תחום ההגדרה של הפונקציה. לעומת זאת, נקודת קיצון מקומית היא כזו שקיימת סביבה של הפונקציה שבה ערכה של הפונקציה באותה נקודה הוא הגבוה או הנמוך ביותר.

הדרך היעילה ביותר למציאת נקודות קיצון של פונקציה היא באמצעות שימוש בנגזרת.

הגדרה פורמלית

תהי פונקציה.

  • הנקודה היא מקסימום גלובלי של הפונקציה אם לכל נקודה בתחום ההגדרה מתקיים .
  • הנקודה היא מינימום גלובלי של הפונקציה אם לכל נקודה בתחום ההגדרה מתקיים .
  • הנקודה היא מקסימום מקומי של הפונקציה אם קיימת סביבה של ולכל נקודה בתחום ההגדרה מתקיים .
  • הנקודה היא מינימום מקומי של הפונקציה אם קיימת סביבה של ולכל נקודה בתחום ההגדרה מתקיים .

בשם נקודת קיצון של נקרא לכל נקודת מינימום או מקסימום, מקומית או גלובלית, של הפונקציה.

נשים לב כי הגדרה זו מתבססת על כך שהפונקציה היא סקלרית, כלומר תמונתה היא מספר ממשי. אם הפונקציה הייתה מחזיקה וקטור, למשל, היה טבעי פחות לדבר על נקודות קיצון שכן אין לוקטורים יחס סדר כמו זה של המספרים הממשיים.

משפט פרמה קובע כי אם פונקציה גזירה בנקודה מסוימת, ובאותה הנקודה יש לה נקודת קיצון (מקסימום מקומי או מינימום מקומי), הנגזרת שווה לאפס באותה נקודה. כלומר שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה זו הוא אפס. ההפך לא תמיד נכון – נגזרת יכולה להיות שווה לאפס גם בנקודה שאינה מקסימום או מינימום, אלא נקודת פיתול או אחרת.

נשים לב כי יכולה להיות נקודת קיצון גם במקרה בו הנגזרת לא מוגדרת, כלומר בנקודה בה שיפוע המשיק, אם קיים, אינו מוגדר.

למשל, הפונקציה שנגזרתה . ניתן לראות כי הפונקציה מוגדרת ורציפה לכל , אך אינה גזירה בנקודה שהיא למעשה נקודת קיצון (מינימום מקומי וגלובלי) של הפונקציה. כלומר לא מוגדר שיפוע למשיק בנקודה זו. היות והגבול החד-צדדי של הנגזרת כאשר שואף ל-0 מימין ומשמאל הוא אינסופי, קיים בנקודה זו משיק אנכי לפונקציה.

ראו גם