גנוס (גאומטריה אלגברית)

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בגאומטריה אלגברית ובגאומטריה אריתמטית, הגנוס של עקום (מרוכב) הוא הגנוס של היריעה שהעקום מגדיר כמשטח רימן. הגנוס הוא מדד מספרי למורכבות העקום, בעיקר דרך הטריכוטומיה: הספירה של רימן היא בעלת גנוס g=0, עקומים בעלי גנוס g=1 הם עקומים אליפטיים, ולעקומים אחרים g>1.

גנוס של שדה פונקציות

משטח רימן אפשר לתאר על ידי שדה הפונקציות שלו, שהוא שדה מדרגת טרנסצנדנטיות 1 מעל המרוכבים. גם להיפך, שדה מהצורה , כאשר w תלוי ב-z, מגדיר משטח רימן, והגנוס של השדה מוגדר כגנוס של המשטח. משטח המוגדר על ידי משוואה מהצורה , כאשר f הוא פולינום, נקרא עקום היפר-אליפטי, והגנוס שלו שווה לחלק השלם של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{\deg(f) - 1}{2}} . מאי-שוויון רימן נובע שכל עקום מגנוס 1 (ולכן כל שדה פונקציות מגנוס 1) מוגדר על ידי משוואה מהצורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ w^2 = (z-a)(z-b)(z-c)} , ולכן הוא עקום אליפטי. בדומה לזה, כל עקום מגנוס 2 הוא היפר-אליפטי; אבל טענה זו אינה נכונה לגנוס גבוה יותר.

הגנוס בגאומטריה אריתמטית

הטריכוטומיה שהוזכרה לעיל מתבטאת באופי השונה של בעיות אריתמטיות על-פי הגנוס של המשוואות המעורבות. לעקומים מגנוס 0 יש פרמטריזציה מלאה, ועקומים מגנוס 1 הם אליפטיים. השערת מורדל קובעת שלכל עקום אלגברי מגנוס גדול מ-1 מעל שדה מספרים, יש מספר סופי של נקודות רציונליות.

מקורות

  • Harvey Cohn, Introduction to the construction of class fields, פרק 5.

ראו גם