גאומטריה אלגברית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

גאומטריה אלגברית היא ענף במתמטיקה העוסק בשילוב של אלגברה מופשטת (בעיקר אלגברה קומוטטיבית) עם גאומטריה. גאומטריה אלגברית עוסקת בלימוד אוסף הפתרונות של מערכת משוואות פולינומיליות. כאשר ישנו יותר ממשתנה אחד, שיקולים גאומטריים הופכים להיות חשובים לצורך הבנת התופעות השונות המתרחשות. הגאומטריה האלגברית עוסקת לרוב בניסיון להבין את מכלול הפתרונות של משוואות פולינומיליות, ולרוב אינה עוסקת בחיפוש פתרון מסוים. בענף זה נחקרים יריעות אלגבריות (algebraic varieties) והכללות שלהן: סכמות (schemes). ענף הגאומטריה האלגברית הוא אחד העמוקים ביותר בכל המתמטיקה, הן מבחינה רעיונית, והן מבחינת הטכניקות שמשתמשים בהן בתחום.

התאפסות בו זמנית של מספר פולינומים

בגאומטריה אלגברית קלאסית, האובייקטים המרכזיים שנחקרים הם קבוצות ההתאפסות של אוסף של פולינומים. לדוגמה, הספירה הדו-ממדית במישור האוקלידי התלת-ממדי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\mathbb{R}^3} ניתנת להגדרה כאוסף הנקודות המקיימות: . דוגמה נוספת היא קבוצת הפתרונות המשותפת של שני הפולינומים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,x-y = 0} ו-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,x^2 + y^2 + z^2 = 1} . קבוצה זו היא אוסף הנקודות מהצורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{(x,x,z)\in \mathbb{R}^3:2x^2 + z^2 = 1\}} .

יריעות אפיניות

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – יריעה אפינית

נניח כי k הוא שדה. בגאומטריה אלגברית קלאסית הניחו כי השדה הוא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{C}} - שדה המספרים המרוכבים, אך רוב התוצאות נשארות נכונות גם אם k הוא שדה סגור אלגברית כלשהו.

נסמן בהפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\mathbf{A}^n(k)} (או בקיצור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\mathbf{A}^n} אם ברור מיהו k) את הקבוצה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,k^n} , ונקרא לה המרחב האפיני ה-n ממדי מעל k. המטרה של ההגדרה ה"לכאורה מלאכותית" הזאת היא להדגיש את העובדה ש הוא בסך הכול אוסף נקודות, ושאנו "שוכחים" מהמבנה של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,k^n} כמרחב וקטורי. פונקציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,f:\mathbf{A}^n\rightarrow \mathbf{A}^1} נקראת רגולרית אם היא ניתנת לכתיבה בתור פולינום. כלומר, אם קיים פולינום הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,p \in k[x_1,\dots,x_n]} כך שלכל נקודה מתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,f(t_1,\dots,t_n) = p(t_1, \dots, t_n)} . פונקציות רגולריות על המרחב האפיני ה-n ממדי הן, אם כן, בדיוק פולינומים ב-n משתנים מעל k. את אוסף הפונקציות הרגולריות על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\mathbf{A}^n} נסמן ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,k[\mathbf{A}^n]} .

נניח כי S היא קבוצה של פולינומים ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,k[\mathbf{A}^n]} . קבוצת ההתאפסות של S, המסומנת ב-(V(S, מוגדרת להיות אוסף כל הנקודות במרחב האפיני שבהן כל הפולינומים ב-S מתאפסים. במילים אחרות,

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V(S) = \{(t_1,\dots,t_n) \in \mathbf{A}^n :\forall p \in S, p(t_1,\dots,t_n)=0\}} .

תת קבוצה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,A\subseteq \mathbf{A}^n} נקראת קבוצה אלגברית אם קיימת קבוצה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S \subseteq k[\mathbf{A}^n]} כך ש-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,A = V(S)} .

שאלה טבעית לשאול בשלב זה היא השאלה הבאה: בהינתן תת-קבוצה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,U \subseteq \mathbf{A}^n} , האם ניתן לשחזר את קבוצת הפולינומים המתאפסים על U? אם U היא תת-קבוצה כלשהי של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\mathbf{A}^n} , נגדיר את הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,I(U)} להיות אוסף כל הפונקציות הרגולריות המתאפסות על כל U. במילים אחרות, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,I(U) = \{p \in k[\mathbf{A}^n]:\forall (t_1,\dots,t_n) \in U, p(t_1,\dots,t_n) = 0\}} . נשים לב כי אם f ו-g מתאפסות בכל נקודה ב-U אז כך גם f+g, וכן אם f מתאפסת בכל נקודה ב-U ואם h היא פונקציה רגולרית כלשהי, אז גם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h \cdot f} מתאפסת בכל נקודה ב-U. לפיכך, לכל תת-קבוצה U של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\mathbf{A}^n} , הקבוצה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,I(U)} היא אידיאל בחוג הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,k[\mathbf{A}^n]} . כעת עולות שתי שאלות טבעיות:

  • בהינתן תת-קבוצה U של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\mathbf{A}^n} , האם מתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,U = V(I(U))} ?
  • בהינתן קבוצת פולינומים S, האם מתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,S = I(V(S))} ?

על מנת להשיב על השאלה הראשונה מגדירים את טופולוגית זריצקי (על שם אוסקר זריצקי). זוהי טופולוגיה על המשקפת ישירות את המבנה האלגברי של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,k[\mathbf{A}^n]} . ההגדרה של טופולוגית זריצקי היא שתת-קבוצה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \subseteq \mathbf{A}^n} היא קבוצה סגורה אם ורק אם A היא קבוצה אלגברית. ניתן להראות ש-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,U=V(I(U))} אם רק אם U היא סגורה בטופולוגית זריצקי. התשובה לשאלה השנייה ניתנת על ידי משפט האפסים של הילברט. אחת הדרכים לנסח את משפט האפסים היא שהפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,I(V(S))} שווה לאידיאל הרדיקל הנוצר על ידי S. הרדיקל של אידיאל I (מסומן ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\sqrt{I}} ) מוגדר להיות אוסף כל האיברים שחזקה כלשהי שלהם נמצאת ב-I, כלומר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\sqrt{I} = \{f \in k[\mathbf{A}^n] : \exist m \in \mathbb{N}, f^m \in I\}} . לעיתים נוח יותר לעבוד עם תתי קבוצות של האידיאל היוצר את U, ועל פי משפט הבסיס של הילברט כל אידיאל בהפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,k[\mathbf{A}^n]} הוא נוצר סופית.

קבוצה סגורה במרחב טופולוגי נקראת אי פריקה אם לא ניתן להציגה כאיחוד של שתי תתי קבוצות סגורות המוכלות בה ממש. קבוצה אלגברית אי פריקה נקראת יריעה אלגברית. ניתן להראות שקבוצה אלגברית היא יריעה אלגברית אם ורק אם קבוצת הפולינומים שמאפסים אותה היא אידיאל ראשוני.

פונקציות רגולריות

בדומה לכך שההעתקות הטבעיות על מרחבים טופולוגיים הן פונקציות רציפות, והעתקות הטבעיות על יריעות חלקות הן פונקציות חלקות, ישנה קבוצה של העתקות טבעיות על קבוצות אלגבריות, הנקראות פונקציות רגולריות. פונקציה רגולרית על תת-קבוצה אלגברית V של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\mathbf{A}^n} מוגדרת להיות צמצום של פונקציה רגולרית על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\mathbf{A}^n} במובן שהוגדר לעיל (כלומר צמצום של פולינום).

ייתכן שתחילה הדרישה שכל פונקציה רגולרית תהיה ניתנת להרחבה על המרחב כולו נראית לא טבעית, אך למעשה המצב דומה מאוד למרחבים טופולוגים נורמלים, שם משפט ההרחבה של טיצה מבטיח שפונקציה רציפה על קבוצה סגורה ניתנת להרחבה לפונקציה רציפה על המרחב כולו.

בדומה לכך שאוסף הפונקציות הרגולריות על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\mathbf{A}^n} יוצרות חוג חילופי, כך גם אוסף הפונקציות הרגולריות על קבוצה אלגברית V כלשהי. חוג זה מסומן ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,k[V]} , ונקרא חוג הקואורדינטות של V.

מכיוון שפונקציות רגולריות על V הן צמצומים של פונקציות רגולריות על המרחב כולו, הרי שקיים קשר בין חוגי הקואורדינטות שלהם. באופן מפורש, שתי פונקציות רגולריות f ו-g על V הן שוות אם הן מזדהות על V. כלומר, f=g אם לכל נקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,x \in V} מתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,f(x)=g(x)} , או הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x) - g(x) = 0} . לכן, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f=g} אם ורק אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f-g \in I(V)} ולפיכך ניתן לזהות את חוג הקואורדינטות על V עם חוג המנה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,k[\mathbf{A}^n]/I(V)} .

הקטגוריה של יריעות אפיניות

בעזרת פונקציות רגולריות מיריעות אפיניות להפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\mathbf{A}^1} נוכל להגדיר פונקציות רגולריות בין שתי יריעות אפיניות. תחילה נגדיר פונקציות רגולריות מיריעה אפינית למרחב האפיני: נניח כי V היא יריעה אפינית בהפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\mathbf{A}^n} . נבחר m פונקציות רגולריות על V ונסמנן ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,f_1,\dots f_m} . נאמר שפונקציה f מ-V ל-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\mathbf{A}^m} היא פונקציה רגולרית אם לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,(t_1,\dots,t_n) \in V} מתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,f(t_1,\dots,t_n) = (f_1(t_1,\dots,t_n),\dots,f_m(t_1,\dots,t_n))} . אם W היא יריעה אפינית בהפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\mathbf{A}^m} , נאמר ש f היא פונקציה רגולרית מ-V ל-W אם התמונה של f מוכלת ב-W. הקטגוריה של יריעות אפיניות מוגדרת להיות הקטגוריה שהאובייקטים שלה הם יריעות אפיניות והמורפיזמים הם פונקציות רגולריות. המשפט הבא מאפיין את הקטגוריה של יריעות אפיניות:

הקטגוריה של יריעות אפיניות היא הקטגוריה ההפוכה (כלומר אותם אובייקטים ומורפיזמים הפוכים) לקטגוריה של k-אלגבראות נוצרות סופית שהן תחומי שלמות.

המרחב הפרויקטיבי

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – גאומטריה פרויקטיבית, יריעה אלגברית פרויקטיבית

נתבונן ביריעה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,V(y-x^2)} . אם נצייר אותה נקבל פרבולה. כאשר המשתנה x גדל, שיפועו של הישר העובר דרך הראשית ודרך הנקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,(x,x^2)} הולך וגדל. לעומת זאת, כאשר x קטן, שיפועו של הישר הזה הולך וקטן. אם נשווה זאת ליריעה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,V(y-x^3)} , נראה שכאשר x גדל השיפוע גדל כמקודם, אך כאשר x קטן, השיפוע שוב גדל. לפיכך ההתנהגות "באינסוף" של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,V(y-x^2)} שונה מההתנהגות "באינסוף" של . ישנו קושי להגדיר את המושג "התנהגות באינסוף" במרחב האפיני.

הפתרון לבעיה זו הוא הצגת המרחב הפרויקטיבי. המרחב הפרויקטיבי מתקבל מהמרחב האפיני על ידי הוספה של "נקודות באינסוף". המרחב הפרויקטיבי הוא האנלוג של הגאומטריה האלגברית למרחבים שהם האוסדורף קומפקטים. באמצעות הוספה של נקודות באינסוף למרחב, נוספות נקודות באינסוף גם ליריעות האפיניות, ומתקבלות יריעות פרויקטיביות. הנקודות באינסוף מאפשרות לקבל מידע נוסף על היריעה.

מבחינה אלגברית, על מנת לטפל ביריעות פרויקטיביות מגדירים את המושג של קואורדינטות הומוגניות, המאפשרות להשתמש בטכניקות אלגבריות בגאומטריה פרויקטיבית. הצגתו של המרחב הפרויקטיבי גרמה לכך שטענות רבות בגאומטריה אלגברית הפכו פשוטות יותר. לדוגמה, משפט בזו קובע שמספר נקודות החיתוך של שתי יריעות פרויקטיביות שווה בדיוק למכפלת הממדים של היריעות. למשפט זה אין אנלוג כה מוצלח במרחב האפיני. לפיכך, למרחב הפרויקטיבי חשיבות רבה בגאומטריה האלגברית.

נקודת המבט המודרנית

הגישה המודרנית לגאומטריה האלגברית מגדירה מחדש את האובייקטים הבסיסיים בתחום. יריעות (אפיניות או פרויקטיביות) מהוות מקרה פרטי של מושג הסכמה שהומצא על ידי אלכסנדר גרותנדיק. תורת הסכמות מתחילה בהבחנה שאם k-אלגבראות נוצרות סופית שהן תחומי שלמות מהוות אובייקטים גאומטריים, אז אולי ניתן לראות בחוגים קומוטטיביים כלשהם מבנים גאומטריים. בכך מהוות סכמות מבנים גאומטרו-אלגבריים כלליים יותר, ודרך נוחה לעבודה עם חוגים קומוטטיביים. שפת הסכמות הוכחה כשפה יעילה מאוד לעבודה עם אובייקטים גאומטריים והפכה לאבן פינה בגאומטריה האלגברית המודרנית.

היסטוריה והערות נוספות

המתמטיקאי הפרסי עומר ח'יאם (נולד ב־1048) המציא שיטות כללית לפתרון משוואות ממעלה שלישית על ידי חיתוך של פרבולה ומעגל. עומר ח'יאם אף שילב את השימוש בטריגונומטריה ותורת הקירובים על מנת למצוא פיתרונות למשוואות אלגבריות באמצעות כלים גאומטריים.

העיסוק המודרני בגאומטריה אלגברית החל באמצע המאה ה-19, עם תוצאות של יוליוס פלוקר (אנ') ואחרים. פלוקר הוכיח (ב-1839) שלכל עקום ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{CP}^2} המוגדר על ידי פולינום הומוגני ממעלה רביעית, כדוגמת עקום פרמה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_1^4+x_2^4+x_3^4=0} , יש בדיוק 28 ישרים המשיקים אליו פעמיים. תוצאה דומה מאותו זמן: לכל עקום ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{CP}^2} המוגדר על ידי פולינום הומוגני ממעלה שלישית, יש בדיוק תשעה ישרים המשיקים לו השקה משולשת (ישר משיק השקה משולשת למשטח, אם לצמצום של משוואת המשטח אל הישר יש שורש משולש). ארתור קיילי הראה ב-1849 שכל משטח חלק ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{CP}^3} המוגדר על ידי פולינום הומוגני ממעלה שלישית (כגון הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3=0} ) מכיל בדיוק 27 ישרים. קבוצת חוקרים איטלקים המשיכה את המחקר של עקומים ומשטחים במחצית הראשונה של המאה ה-20. סגנונם היה אינטואיטיבי ולא עמד בדרישות הריגורוזיות של המתמטיקה המודרנית.

בשנות ה-30 וה-40 של המאה ה-20, הבינו אוסקר זריצקי, אנדרה וייל ואחרים שיסודות הגאומטריה האלגברית צריכות להיבנות על אלגברה קומוטטיבית ותורת ההערכות. אלגברה קומוטטיבית פותחה על ידי דויד הילברט, מקס נתר, עמנואל לסקר, אמי נתר, וולפגנג קרול ואחרים. במשך זמן רב לא היו יסודות אחידים לגאומטריה האלגברית.

בשנות ה-50 וה-60 ז'אן-פייר סר ואלכסנדר גרותנדיק בנו את היסודות מחדש בעזרת תורת האלומות. לאחר מכן, בשנות ה-60, רעיון הסכמה נולד, ובצמידות לו השימוש בשיטות הומולוגיות. לאחר עשור של התפתחות מאסיבית, התחום התייצב בשנות ה-70, ושימושים חדשים נמצאו, הן בתורת המספרים והן לשאלות קלאסיות על יריעות אלגבריות.

אחת מקבוצות היריעות אשר לא ניתן להבין ישירות מהמשוואות המגדירות אותן היא היריעות האבליות, שהן יריעות פרויקטיביות שהנקודות שלהן הן גם חבורות אבליות. הדוגמאות הידועות ביותר ליריעות אבליות הן עקומים אליפטים, שהם בעלי תאוריה עשירה מאוד, והיוו כלי חשוב בהוכחת המשפט האחרון של פרמה, ובעלי שימושים גם בקריפטוגרפיה (ראו גם - הצפנה מבוססת עקומים אליפטיים).

רובה של הגאומטריה האלגברית עוסקת בטענות מופשטות לגבי יריעות, אך שיטות אפקטיביות לביצוע חישובים קונקרטיים בפולינומים תוך שימוש בטכניקות של גאומטריה אלגברית פותחו אף הן. הטכניקה החשובה ביותר היא בסיסי גרובנר הממומשים בכל המערכות האלגבריות הממוחשבות.

ראו גם

לקריאה נוספת

ספרים קלאסיים, לפני המצאת מושג הסכמה:

ספרים מודרניים שאינם משתמשים במושג הסכמה:

ספרים אשר משתמשים בשפת הסכמות:

באינטרנט:


סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0


קישורים חיצוניים

ויקישיתוף ראו מדיה וקבצים בנושא זה בוויקישיתוף.

סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0