
,
הרכבה של

על

במתמטיקה, ההרכבה של פונקציות היא פונקציה המתקבלת מהפעלת פונקציות בזו אחר זו.
ובאופן פורמלי: אם
פונקציה מ-
ל-
ו-
פונקציה מ-
ל-
, אז ההרכבה
(בסדר זה, קרי:
מורכבת על
) היא הפונקציה מ-
ל-
המוגדרת לפי
. ההרכבה מוגדרת בתנאי שהתמונה של הפונקציה הראשונה (
) מוכלת בתחום של הפונקציה השנייה (
).
תכונות
התכונה החשובה ביותר של הרכבת פונקציות היא האסוציאטיביות של הפעולה: אם אפשר להרכיב את
על
ואת
על
, אז
. בזכות תכונה זו, והעובדה שלמערכות של פונקציות יש תפקיד מרכזי כל-כך במתמטיקה, מרבית הפעולות במבנים אלגבריים, ובראשם החבורות, הם אסוציאטיביים. לדוגמה, אוסף כל הפונקציות מקבוצה
לעצמה הוא מונויד. פונקציה
שהיא פונקציה חד-חד-ערכית ועל היא הפיכה: קיימת
כך ש-
וגם
(דהיינו, ההרכבה
היא פונקציית הזהות על
, ובנוסף ההרכבה
היא פונקציית הזהות על
). למעשה, אם קיימת פונקציה
שכזו היא יחידה, ולכן מכונה "הפונקציה ההופכית של
" ולרוב מסומנת ב-
.
הרכבה של פונקציות ממשיות
הרוב המכריע של הפונקציות המופיעות בחישובים מדעיים מתקבלות כהרכבות של פונקציות יסודיות; הרכבות כאלה נקראות פונקציות אלמנטריות. למשל, הפונקציה
היא ההרכבה
כאשר
ו-
.
ניתן לגון גם בגבול של הרכבת פונקציות ממשיות: אם
ו-
פונקציות שעבורן
וכן גם קיים הגבול
(עבור
כלשהם), אז הגבול של הרכבת הפונקציות
כאשר
קיים ושווה ל-
. אם מתקיים לפחות אחד משני התנאים הבאים, אז גם
מתקיים:
רציפה ב-
(כלומר
) או שקיימת סביבה מנוקבת של
שבה
. שני תנאים אלו מספיקים אך לא הכרחיים.
כלל השרשרת קובע את הנגזרת של הרכבת פונקציות, באופן התלוי בנגזרות של המרכיבים.
קישורים חיצוניים
30235901הרכבת פונקציות