זהויות מופן

באלגברה וגאומטריה פרויקטיבית, זהויות מופן הן זהויות שיכול לקיים חוג לא אסוציאטיבי: הזהות השמאלית $\ (x(zx))y=x(z(xy))$, והזהות הימנית $\ y((xz)x)=((yx)z)x$. זהויות אלו מופיעות באופן טבעי כשחוקרים את הפרמטריזציה של מישור פרויקטיבי, והן קרובות לזהויות שמקיימת אלגברה אלטרנטיבית. גם לזהות המרכזית $\ (xy)(zx)=(x(yz))x$ יש תפקיד מסוים. הזהויות קרויות על שם רות מופן .

את הזהות הימנית והשמאלית אפשר לנסח כטענות על אופרטורי הכפל מימין ומשמאל, כזהויות $\ r_{x}r_{z}r_{x}=r_{(xz)x}$ ו-$\ \ell _{x}\ell _{z}\ell _{x}=\ell _{x(zx)}$, בהתאמה. ניסוח זה חושף קשר לאלגברות ז'ורדן, שבהן משחק האופרטור $\ Q_{x}(y)=xyx$ תפקיד חשוב.

שלוש זהויות מופן מתקיימות בכל אלגברה אלטרנטיבית. מאידך, אלגברה עם יחידה המקיימת את הזהות הימנית והשמאלית היא אלטרנטיבית; ואלגברה עם חילוק המקיימת את זהות מופן הימנית או השמאלית היא אלטרנטיבית.

באלגברה עם יחידה המקיימת את זהות מופן הימנית או השמאלית מתקיימת הזהות $\ (a,b,a)^{4}=0$, כאשר $\ (a,b,c)$ הוא האסוציאטור.

מקורות

• The Role of Nonassociative Algebra in Projective Geometry, John R Faulkner, 2014.