זווית הקבלה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
(הופנה מהדף זווית ההקבלה)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
אם הזווית B ישרה והקווים Aa ו-Bb הם מקבילים גבוליים (limiting parallels), אז הזווית בין Aa ל-AB היא זווית ההקבלה.

בגאומטריה היפרבולית, זווית ההקבלהאנגלית: Angle of parallelism), שסימונה המקובל הוא , היא הזווית בקודקוד אחד של משולש היפרבולי ישר-זווית ששתיים מצלעותיו הן מקבילים אסימפטוטיים. זווית זו תלויה באורך המקטע a שמחבר את הקודקוד של הזווית הישרה עם הקודקוד של זווית ההקבלה.

בהינתן נקודה מחוץ לישר, אם מורידים אנך לישר מהנקודה, אז a הוא המרחק לאורך המקטע האנכי הזה, ו-φ או היא הזווית הקטנה ביותר בה הקו המשורטט מהקודקוד בזווית הזו אינו חותך את הישר הנתון. מכיוון ששתיים מצלעות המשולש הן מקבילים אסימפטוטיים, מתקיים:

ישנם חמישה ביטויים מתמטיים שקולים שקושרים את עם a:

כאשר sinh, cosh, tanh, ו-sech הן פונקציות היפרבוליות ו-gd היא פונקציית גודרמניאן.

היסטוריה

המונח זווית ההקבלה והנוסחאות המקושרות אליו הוצג ופותח בהרחבה ב-1840 בחיבור "חקירות גאומטריות על התאוריה של קווים מקבילים"[1] של המתמטיקאי ניקולאי לובצ'בסקי, ממגלי הגאומטריה הלא-אוקלידית. יאנוש בולאי גילה בנייה גאומטרית אלגנטית ממנה ניתן לגזור את הנוסחה לזווית ההקבלה.

כעשור לפניו, קרל פרידריך גאוס הציג בכתב לא מפורסם קצר "התאוריה של קווים מקבילים" הגדרה זהה; הוא הגדיר ישר מקביל גבולי דרך נקודה מחוץ לישר נתון כחתך[2] בין הישרים שפוגשים את הישר הנתון לישרים שלא פוגשים אותו. באותו חיבור הוא גם הוכיח[3] כי תכונת ההקבלה היא חילופית (סימטרית) וטרנזיטיבית - עובדות טריוויאליות בגאומטריה אוקלידית, אולם שמצריכות הוכחה דקדקנית בגאומטריה אחרת. פרטי ההוכחה טריקיים מאוד, ועשו שימוש ברעיונות המאוחרים יותר של מוריץ פש (Pasch).

הערות שוליים

  1. ^ Nicholaus Lobatschewsky (1840) G.B. Halsted translator (1891) Geometrical Researches on the Theory of Parallels, link from Google Books
  2. ^ ,GAUSS AS A GEOMETER BY H, S, M, COXETER. [1]
  3. ^ Note on Gauss' Proof of the Reciprocity of Parallelism [2]
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

22729586זווית הקבלה