חבורה פשוטה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, חבורה פשוטה היא חבורה שאין לה תת-חבורה נורמלית לא־טריויאלית, כלומר תת־החבורות הנורמליות היחידות שלה הן ו- .

לפי משפט ז'ורדן-הלדר ההצגה של חבורה סופית על ידי סדרה נורמלית היא יחידה, כאשר הגורמים של סדרת ההרכב הן חבורות פשוטות. מכאן החשיבות הרבה שיש לחבורות פשוטות בתור אבני הבניין של כל החבורות הסופיות, בדומה למספרים הראשוניים שמרכיבים את המספרים השלמים.

משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות הושלם ב־1982 לאחר מאמצים משותפים של מתמטיקאים רבים.

דוגמאות

למשל עבור קיימת הסדרה הנורמלית כאשר חבורת התמורות הזוגיות מסדר 4 ו־ חבורת הארבעה של קליין.
מאידך, עבור , פשוטה.
  • חבורות המטריצות הן פשוטות, אלא אם n=2 והשדה F הוא בן 2 או 3 אברים.

לפי משפט פייט-תומפסון, כל חבורה מסדר אי־זוגי היא פתירה. משפט זה נחשב לצעד המשמעותי הראשון בהוכחת משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות. מן המיון השלם עולה כי הסדר של כל חבורה פשוטה, פרט לחבורות סוזוקי, מתחלק ב־3.

מושגים קרובים

אם G חבורה מושלמת (כלומר, ) וחבורת המנה פשוטה, אז החבורה G היא קוואזי־פשוטה (quasisimple). לחבורה פשוטה A, כל תת־חבורה של חבורת האוטומורפיזמים המכילה את כל האוטומורפיזמים של הצמדה נקראות חבורות כמעט פשוטות (almost simple).

למשל, כאשר פשוטה, החבורה היא קוואזי־פשוטה, והחבורה כמעט פשוטה.

סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0