מספר שלם

דיאגרמת ון של מערכות מספרים ידועות, המספרים השלמים מסומנים בכתום

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

מספר שלם הוא מספר הנכתב ללא מרכיב של שבר. לדוגמה, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3, 7, -15} ו-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -32} הם מספרים שלמים, אך הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt 5, 3.28, -19.2} ו-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -0.94} אינם מספרים שלמים.

קבוצת המספרים השלמים מורכבת מהמספר אפס, המספרים הטבעיים (הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1,2,3,\dots} ) והמספרים הנגדיים להם (המספרים השליליים $-1,-2,-3,\dots$ ) ומסומנת בדרך כלל ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb {Z}} . בדומה למספרים הטבעיים קבוצת המספרים השלמים היא אינסופית בת מנייה.

קבוצת המספרים השלמים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb {Z}} מהווה תת-קבוצה של קבוצת המספרים הרציונליים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb {Q}} שמהווים בעצמם תת-קבוצה של קבוצת המספרים הממשיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb {R}} שהם תת-קבוצה של קבוצת המספרים המרוכבים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb {C}} .

המספרים השלמים עם פעולות החיבור והכפל מהווים את חוג המספרים השלמים. מבחינות רבות, המושג חוג הוא הפשטה אלגברית של המספרים השלמים.

בתורת המספרים האלגברית מתייחסים לעיתים למספרים שלמים כאל שלמים רציונלים בכדי לבדל אותם מסוגי שלמים אחרים במתמטיקה כגון שלמים אלגברים, שלמים של גאוס או שלמים של אייזנשטיין.^[1]

סימון

הסימון המקובל לקבוצת המספרים השלמים

קבוצת המספרים השלמים מסומנת בדרך כלל ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb {Z}} או ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bold Z} (האות Z מגיעה ממהמילה הגרמנית Zahlen שמשמעותה "מספרים").^[2]^[3] ולפעמים מסומנת ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb {I}} .^[4]

תת קבוצות מיוחדות של $\mathbb {Z}$ מסומנות בדרך כלל בסימון מיוחד:

קבוצת השלמים החיוביים מסומנת באחד מן הסימונים האלו: $\mathbb {Z} ^{>},\mathbb {Z} ^{+},\mathbb {Z} _{+}$ .^[5]
קבוצת השלמים האי-שליליים מסומנת ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb {Z}^{0+}} , ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb {Z}^{\geq}} . ויש המשתמשים בסימון הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb {Z}^{*}} .^[5]
קבוצת השלמים השליליים מסומנת ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb {Z}^{-}} .^[5]

לעיתים משתמשים בסימון הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb {Z}^{\neq}} או בסימון הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb {Z}^{*}} בכדי לסמן את קבוצת השלמים שאינם אפס.

בנוסף, חוג השלמים ה-p-אדיים מסומן ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}_p} וחבורה ציקלית מסדר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} מיוצגת על ידי הסימון הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}_n} .^[2]^[6]

פעולות חשבון בסיסיות במספרים שלמים

קובץ:AdditionRules.svg

חיבור של שני מספרים חיוביים נותן תוצאה חיובית, חיבור של שני מספרים שליליים נותן תוצאה שלילית, הסימן של תוצאת החיבור של מספר חיובי ומספר שלילי נקבעת לפי הסימן של המספר עם הערך המוחלט הגדול מבניהם

ערך מורחב – ארבע פעולות החשבון

חיבור וחיסור

ערכים מורחבים – חיבור, חיסור

ניתן להרחיב את פעולת החיבור במספרים טבעיים למספרים שלמים כך:

חיבור של שני מספרים חיוביים שווה לפעולת החיבור הרגילה במספרים טבעיים
חיבור של שני מספרים שליליים שווה לנגדי של חיבור הערכים המוחלטים של המספרים, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-a)+(-b)=-(a+b)} .
חיבור של מספר חיובי ומספר שלילי שווה להפרש בין הערכים המוחלטים של המספרים וסימנו שווה לסימן המספר שהערך המוחלט שלו הוא הגדול מבין השניים, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+(-b)=a-b} כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a>b} , ו-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+(-b)=-(b+(-a))=-(b-a)} כאשר $a<b$ .

פעולת החיבור סגורה בתוך המספרים השלמים, כלומר חיבור של שני מספרים שלמים הוא גם מספר שלם. ניתן להגדיר את הפעולה של חיסור מספר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} כחיבור של המספר הנגדי לו הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -a} . ובשונה מהמספרים הטבעיים, פעולת החיסור סגורה במספרים השלמים, כלומר חיסור של שני מספרים שלמים הוא מספר שלם.^[7] הטבלה הבאה מציגה את התכונות הבסיסיות של חיבור:

תכונה		דוגמה
סגירות	הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+b} הוא מספר שלם
חילופיות	הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+b=b+a}	הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 10=7+3=3+7=10}
אסוציאטיביות	הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a+b) +c = a+ (b+c)}	הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1=2+(4+(-5))=(2+4)+(-5)=1}
קיום איבר יחידה	הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+0=a}	הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1+0=1}
קיום איבר הופכי	הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+(-a)=0}	הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2+(-2)=0}

כפל וחילוק

חיבור, חיסור וכפל של מספרים שלמים באמצעות בדידים

ערכים מורחבים – כפל, חילוק

פעולת הכפל במספרים טבעיים היא למעשה פעולת חיבור חוזרת: 2 כפול 3 הוא הסכום $2+2+2=6$ . הרחבה של פעולת הכפל למספרים שלמים מתבצעת כך:

כפל מספר חיובי במספר חיובי היא פעולת הכפל הרגילה במספרים טבעיים.
כפל מספר שלילי במספר שלילי הוא מספר חיובי ששווה למכפלת הערכים המוחלטים של המספרים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-a) \times (-b) = a \times b} (כלומר משמיטים את סימן המינוס).
כפל מספר חיובי במספר שלילי הוא הנגדי של מכפלת הערכים המוחלטים של המספרים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \times (-b) = (-a) \times b = -a \times b} (כלומר אפשר להוציא את סימן המינוס מחוץ למכפלה).

הטבלה הבאה מציגה את התכונות הבסיסיות של הכפל:

תכונה		דוגמה
סגירות	הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\times b} הוא מספר שלם
חילופיות	הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\times b=b\times a}	הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 21=7\times 3=3\times 7=21}
אסוציאטיביות	הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a\times b) \times c = a\times (b\times c)}	הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -40=2\times (4\times (-5))=(2\times 4)\times (-5)=-40}
קיום איבר יחידה	הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\times 1=a}	הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\times 1=2}
חוק הפילוג	הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)}	הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 6=2\times ((-2)+5)=(2\times(-2))+(2\times 5)=6}
ללא מחלקי אפס	אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \times b = 0} אז הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=0} או הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b=0} (או שניהם)

בעבור מספרים שלמים, אומרים ש-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} מחלק את הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} , אם קיים מספר טבעי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} כך שמתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \times b = c} למשל, 6 מחלק את 18 משום ש-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3\times 6=18} . כדי לציין ש-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} מחלק את הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} משתמשים בסימון $b|c$ , וכדי לציין ש-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} לא מחלק את הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} משתמשים בסימון הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b \nmid c} . פעולת החילוק אינה סגורה בקבוצת המספרים השלמים, משום שחילוק של 10 ב-3, למשל, נותן תוצאה שאינה מספר שלם.

חזקה

ערכים מורחבים – חזקה

פעולת החזקה בצורתה הבסיסית היא כאשר המעריך הוא מספר טבעי והיא מהווה קיצור של פעולת הכפל; כלומר - הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} בחזקת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} היא המכפלה של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} גורמים השווים כולם לבסיס הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} : הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^b = \underbrace{a \times \cdots \times a}_b} . בכדי להרחיב את פעולת החזקה בעבור מספרים שלמים נצטרך לשמור על חוקי החזקות הבסיסיים ובפרט:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^0=a^{n-n}=\frac{a^n}{a^n}=1}

וכן:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^{-n}=a^{0-n}=\frac{a^0}{a^n}=\frac{1}{a^n}}

לכן נוח להגדיר חזקת אפס כשווה ל-1 תמיד (ראו מכפלה ריקה) וחזקה שלילית בתור ההופכי לחזקה החיובית הנגדית. יוצא מן הכלל הוא הביטוי אפס בחזקת אפס שלרוב אינו מוגדר, או מוגדר כשווה ל-1.^[8] בנוסף, חזקות שליליות של 0 אינן מוגדרות, כי לא ניתן לחלק באפס. אולם, בשונה מהמספרים הטבעיים המספרים השלמים אינם סגורים תחת פעולת החזקה (כיוון שתוצאת החזקה יכולה להיות שבר כאשר המעריך הוא מספר שלילי).

תכונות אלגבריות

חיבור של מספרים שלמים על ציר המספרים

ערך מורחב – חוג המספרים השלמים

בדומה למספרים הטבעיים, המספרים השלמים סגורים תחת פעולות החיבור והכפל. כלומר, חיבור של מספרים שלמים הוא מספר שלם וכפל של מספרים שלמים גם הוא מספר שלם. אבל, בעקבות הקיום של אפס והמספרים השליליים המספרים השלמים סגורים גם תחת פעולת החיסור בשונה מהמספרים הטבעיים.^[7]

המספרים השלמים אינם סגורים תחת פעולת החילוק שכן רק ל-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} ו-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1} קיים מספר הופכי שלם ביחס לכפל והמספרים ההופכיים של שאר המספרים השלמים הם שברים (חוץ מאפס שלו לא קיים מספר הופכי ביחס לכפל).

הטבלה הבאה מסכמת את התכונות של פעולות החיבור והכפל במספרים שלמים:

	חיבור	כפל
סגירות	הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+b} הוא מספר שלם	הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \times b} הוא מספר שלם
אסוציאטיביות	הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}	$a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$
חילופיות	הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+b=b+a}	הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \times b = b \times a}
קיום איבר יחידה	הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+0=a}	הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \times 1 = a}
קיום איבר הופכי	הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+(-a)=0}	האיברים ההפיכים היחידים הם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} ו-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1}
חוק הפילוג	הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)} וגם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a + b) \times c = (a \times c) + (b \times c)}
ללא מחלקי אפס		אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \times b = 0} אז הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=0} או $b=0$ (או שניהם)

במונחים של אלגברה מופשטת ניתן לומר שקבוצת המספרים השלמים $\mathbb {Z}$ יחד עם פעולת החיבור מהווים חבורה אבלית ציקלית, כיוון שכל מספר שונה מאפס ניתן לכתוב כסכום הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1+1+1+ \dots} או כ-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1-1-1- \dots} . למעשה, קבוצת המספרים השלמים מהווה את החבורה הציקלית האינסופית היחידה – כל חבורה ציקלית אינסופית איזומורפית אליה.

מארבע התכונות הראשונות בטבלה למעלה נקבל שקבוצת המספרים השלמים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}} עם פעולת הכפל מהווה מונואיד חילופי (אבלי), וכיוון שלא לכל מספר שלם קיים מספר הופכי שלם נקבל שהמספרים השלמים תחת פעולת הכפל אינם חבורה.

מצירוף כל התכונות שצוינו בטבלה (מלבד התכונה האחרונה) נקבל שקבוצת המספרים השלמים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}} תחת פעולות החיבור והכפל מהווה חוג חילופי עם איבר יחידה – חוג המספרים השלמים. מבחינות רבות, המושג חוג הוא הפשטה אלגברית של המספרים השלמים.

מהתכונה שלא קיימים מחלקי אפס נקבל שחוג המספרים השלמים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}} הוא תחום שלמות. ומכך שלא קיימים איברים הפיכים ביחס לכפל - המספרים השלמים לא סגורים תחת חילוק, נקבל שחוג המספרים השלמים איננו שדה. השדה הקטן ביותר שמכיל את המספרים השלמים כתת-חוג הוא שדה המספרים הרציונליים. תהליך הבנייה של שדה המספרים הרציונליים מתוך חוג המספרים השלמים ניתן לחיקוי לכל תחום שלמות בכדי ליצור את שדה השברים שלו. ובכיוון ההפוך, משדה מספרים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} ניתן לקבל את חוג השלמים של השדה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ {\mathcal O}_K} , שיחסו ל-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} דומה לזה שבין חוג המספרים השלמים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}} לשדה המספרים הרציונליים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Q}} (ואמנם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\mathcal{O})_{\mathbb{Q}} = \mathbb{Z}} ).

אף על פי שהמספרים השלמים אינם סגורים תחת חילוק, ניתן לבצע בהם חלוקה עם שארית.^[9] כלומר, לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \in \mathbb {Z}} ולכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0\neq b \in \mathbb {Z}} , קיימים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q, r \in \mathbb {Z}} כך ש-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=q\times b+r} ו-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0 \le r < |b|} (כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |b|} היא פונקציית הערך המוחלט).^[10] ולכן חוג המספרים השלמים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}} הוא חוג אוקלידי, וכיוון שכל חוג אוקלידי הוא תחום ראשי נובע שגם קבוצת המספרים השלמים מהווה חוג שכזה, ומכיוון שכל תחום ראשי הוא תחום פריקות יחידה נקבל שלכל מספר שלם קיים פירוק יחיד לגורמים שלמים אי-פריקים (במספרים השלמים הגדרת האי-פריקות והגדרת הראשוניות מתלכדות ולכן ניתן גם לומר שלכל מספר קיים פירוק יחיד לגורמים ראשוניים).^[11]

בנייה פורמלית של המספרים השלמים

המספרים השלמים הם מערכת מספרים, שאותה ניתן לבנות מתוך המספרים הטבעיים בדרכים שונות, אחת מהן היא באמצעות שימוש בזוגות סדורים.

הנקודות האדומות הן זוגות סדורים של מספרים טבעיים, הנקודות המחוברות מהוות את מחלקות השקילות שמיצגות את המספרים בכחול בקצה הקו

לאחר שנבנתה המערכת של המספרים הטבעיים עם פעולות החיבור והכפל שלהם, אפשר לחשוב על מספר שלם כאילו היה הפרש של שני מספרים טבעיים. באופן פורמלי יותר, מגדירים יחס שקילות על קבוצת הזוגות הסדורים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{N}\times \mathbb{N}} ,^[12] כך: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,b)\sim (c,d)} אם ורק אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+d=b+c} . באופן לא פורמלי מחלקת השקילות של הזוג הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,b)} , אותה מסמנים ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [(a,b)]} , תייצג את ההפרש הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a-b} (ובכל מחלקה נמצאים כל הזוגות שההפרש ביניהם שווה).

נראה כי זהו באמת יחס שקילות:

רפלקסיביות: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+b=b+a} (כי חיבור במספרים טבעיים הוא חילופי ולכן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,b)\sim(a,b)} ).
סימטריות: אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+d=b+c} אז הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b+c=a+d} (כי שוויון הוא סימטרי) ולכן אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,b)\sim(c,d)} אז הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (c,d)\sim (a,b)} .
טרנזיטיביות: נניח כי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,b)\sim(c,d), (c,d)\sim(e,f)} אז $a+d=b+c,c+f=d+e$ . נחבר את השוויונות ונקבל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+d+c+f=b+c+d+e} . נצמצם איברים זהים משני אגפי המשוואה, ונקבל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+f=b+e} , כלומר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,b)\sim(e,f)} .

כעת נגדיר את קבוצת המספרים השלמים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{N}} בתור קבוצת המנה של יחס השקילות. כלומר: כל מספר שלם הוא אוסף הזוגות הסדורים שמקיימים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,b)\sim (c,d)} זה עם זה.

על קבוצה זו נגדיר פעולות של כפל וחיבור, תוך הסתמכות על הגדרתם בקבוצת המספרים הטבעיים:^[13]

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)]}

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [(a,b)]\times [(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)]} .

נותר להראות כי החיבור והכפל שהגדרנו נותרים מוגדרים היטב גם על קבוצת המנה - כלומר, שניתן לכפול ולחבר מחלקות שקילות באמצעות נציגים בלי חשיבות לבחירת הנציג.

חיבור: נניח כי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,b)\sim(a',b'),(c,d)\sim(c',d')} . צריך להראות כי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,b)+(c,d)\sim(a',b')+(c',d')} .

כלומר, יש להראות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a+c,b+d)\sim(a'+c',b'+d')} .

כלומר, יש להראות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+b'+c+d'=b+a'+d+c'}

נתון,

a+b'=b+a',c+d'=d+c'

,

נחבר את שתי המשוואות ונקבל שמתקיים

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+b'+c+d'=b+a'+d+c'}

ולכן פעולת החיבור מוגדרת היטב.

כפל: נניח כי $(a,b)\sim (a',b'),(c,d)\sim (c',d')$ . צריך להראות כי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,b)\times(c,d)\sim(a',b')\times(c',d')} .

כלומר, יש להראות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (ac+bd,ad+bc)\sim(a'c'+b'd',a'd'+b'c')} .

כלומר, יש להראות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ac+bd+a'd'+b'c'=ad+bc+a'c'+b'd'} .

נתון, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (I): a+b'=b+a'} , הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (II): c+d'=d+c'}

נכפיל את הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (i)} ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} ונקבל את המשוואה

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (III): ac+b'c=a'c+bc}

נכפיל את הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (ii)} ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a'} ונקבל את המשוואה

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (IV): a'c+a'd'=a'c'+a'd}

נכפיל את הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (i)} ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b'} ולאחר החלפת סדר האגפים נקבל את המשוואה

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (V): b'c'+b'd=b'c+b'd'}

נכפיל את הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (ii)} ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d} ולאחר החלפת סדר האגפים נקבל את המשוואה

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (VI): a'd+bd=ad+b'd}

נחבר את ארבע המשוואות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (III)-(VI)} ונקבל את המשוואה

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ac+bd+a'd'+b'c'+a'c+a'd+b'c+b'd=a'c'+b'd'+ad+bc+a'c+a'd+b'c+b'd}

ולאחר שנחסיר משני אברי המשוואה את האיברים הזהים (

a'c+a'd+b'c+b'd

) נקבל שמתקיים

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ac+bd+a'd'+b'c'=ad+bc+a'c'+b'd'}

ולכן פעולת הכפל מוגדרת היטב.

כל מחלקת שקילות מכילה איבר מהצורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n,0)} או מהצורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (0,n)} (כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \in \mathbb{N}} ), את מחלקת השקילות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [(n,0)]} נסמן ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} , ואת מחלקת השקילות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [(0,n)]} נסמן ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -n} , ואלו יהוו המספרים השלמים (חוץ מאפס שיוגדר פעם אחת בלבד כ-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [(0,0)]} , מכיוון ש-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -0=0} ).

נראה שההגדרות הבסיסיות של חיבור וכפל מתלכדות על המספרים הטבעיים

חיבור: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} הוא סימון למחלקת השקילות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [(a,0)]} ו-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} הוא סימון למחלקת השקילות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [(b,0)]} ומתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+b=[(a,0)]+[(b,0)]=[(a+b,0)]=a+b} , כלומר חיבור לפי הסימון של המחלקות מקביל לחיבור ה"רגיל" במספרים הטבעיים.
כפל: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} הוא סימון למחלקת השקילות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [(a,0)]} ו-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} הוא סימון למחלקת השקילות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [(b,0)]} ומתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \times b = [(a,0)] \times [(b,0)] = [(a \times b + 0 \times 0, a \times 0 + 0 \times b)] = [(a \times b,0)]=a \times b} , כלומר כפל לפי הסימון של המחלקות מקביל לכפל ה"רגיל" במספרים הטבעיים.

וכעת, בשונה מהמספרים הטבעיים, לכל מספר שלם קיים הופכי לחיבור, ההופכי לחיבור של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} הוא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -n} .

זאת מכיוון שמתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n+(-n)=[(n,0)]+[(0,n)]=[(n,n)]\sim[(0,0)]=0} .

ניתן להגדיר חיסור על ידי חיבור של ההופכי לחיבור, כלומר: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a-b=a+(-b)=[(a,0)]+[(0,b)]=[(a,b)]=c} (כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} הוא הנציג של מחלקת השקילות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [(a,b)]} ), ולכן המספרים השלמים סגורים תחת חיסור בשונה מהמספרים הטבעיים.

סדר

ניתן להציג את המספרים השלמים כנקודות על ישר אינסופי, כאן המספרים החיוביים מוצגים בכחול והשליליים באדום

קבוצת המספרים השלמים היא קבוצה סדורה ליניארית ללא חסם מלעיל או מלרע. הסדר של המספרים השלמים נתון על ידי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dots -2<-1<0<1<2<3 \dots} , מספר יקרא חיובי אם הוא גדול ממש מאפס ושלילי אם הוא קטן ממש מאפס, אפס הוא המספר היחיד שאינו חיובי ואינו שלילי.

נגדיר את הסדר של המספרים כך שיכבד את פעולות החיבור והכפל כך:

אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a<b} וגם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c<d} אז הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+c<b+d} .
אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a<b} וגם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0<c} אז הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ac<bc} .

מכאן שקבוצת המספרים השלמים עם הסדר שהוגדר לעיל היא שדה סדור.

המספרים השלמים הם החבורה האבלית היחידה הלא טריוויאלית (כלומר חבורה שמכילה לפחות שני איברים) בעלת סדר ליניארי שסדר האיברים החיוביים שלה הוא סדר טוב.^[14]

באמצעות הסדר ניתן להגדיר פונקציות חשובות:

פונקציית הסימן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sgn(x)} - מחזירה לכל מספר ממשי ערך המתאים לסימן שלו.

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sgn(x) := \begin{cases} -1 & \quad x < 0 \\ ~~\, 0 & \quad x = 0 \\ ~~\, 1 & \quad x > 0 \end{cases}}

פונקציית הערך המוחלט הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{abs}(x)} , מסומנת גם ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left| x \right|} - מחזירה לכל מספר את המרחק בינו לבין נקודת האפס על ציר המספרים. כלומר, אם המספר חיובי, הערך המוחלט שלו הוא הערך של המספר עצמו, ואם המספר שלילי ערכו המוחלט יהיה הערך של המספר הנגדי לו. ערכו המוחלט של 0 הוא 0.

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x| = \operatorname{abs}(x) := \begin{cases} ~~\, x & \quad x \ge 0\\ -x & \quad x < 0 \end{cases}}

הפונקציות משלימות אחת את השנייה, יחדיו הן מפרקות כל מספר $x$ לשני חלקים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = \sgn(x) \cdot |x|} .

עוצמה

נוכיח שקיימת פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת המספרים השלמים לקבוצת המספרים הטבעיים, ולכן קבוצת המספרים השלמים היא בת מנייה, עוצמתה שווה ל- $\aleph _{0}$ (אָלֶף אֶפֶס).

את הפונקציה אנו יכולים להגדיר בשני אופנים, כיוון שאפשר להניח כי אפס הוא מספר טבעי או להניח שלא.

אם אפס נחשב למספר טבעי, אזי הפונקציה היא:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi : \mathbb{Z} \to \mathbb{N},\quad \pi(x) = \begin{cases} 2|x|, & \mbox{if } x \leq 0\\ 2x-1, & \mbox{if } x > 0 \end{cases} }

ואם לא, הפונקציה היא:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi : \mathbb{Z} \to \mathbb{N},\quad \pi(x) = \begin{cases} 2|x|, & \mbox{if } x < 0 \\ 2x+1, & \mbox{if } x \ge 0 \end{cases} }

אלו הן פונקציות חד-חד ערכיות ועל בין קבוצת המספרים השלמים לקבוצת המספרים הטבעיים ולכן נקבל שקבוצת המספרים השלמים היא בת מנייה.

טיפוס סדר

מכיוון שטיפוס הסדר של קבוצת השלמים החיוביים (המספרים הטבעיים) הוא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} ומכיוון שקבוצת השלמים השליליים דואלית (אנ') לקבוצת השלמים החיוביים (אם נתאים לכל מספר חיובי את הנגדי שלו, יחס הסדר מתהפך כלומר אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \ge y} אז הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -x \le -y} ) נובע שטיפוס הסדר של קבוצת השלמים השליליים הוא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega^*} (יש המסמנים אותו ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^*\omega} ),^[15]^[16] ולכן טיפוס הסדר של קבוצת המספרים השלמים הוא $\omega +\omega ^{*}$ .

שימושים

מספרים שלמים נמצאים בשימוש נרחב בחקר של אובייקטים שמטבעם אינם ניתנים לחלוקה או שתכונות הבעיה מונעות חלוקה של האובייקטים (לדוגמה, בעיות שעוסקות באנשים, בניינים או ספינות). ניתן להשתמש במספרים שליליים גם בבעיות כאלו - למשל, כאשר מתכננים עסקאות סחר, אפשר לציין מכירות עם מספרים חיוביים ורכישות עם מספרים שליליים. דוגמה נוספת, מספר קוונטי מגנטי בפיזיקה מבדיל בין האורביטלים האפשריים בתוך תת-קליפה אלקטרונית, ומשמש לחישוב הרכיב הזוויתי של וקטור האורביטל במרחב וערכו יכול לנוע במרווחים שלמים בטווח שבין הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{-\ell..\ell\}} כולל הערך אפס (כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_\ell} הוא המספר הקוונטי הזוויתי).

בכדי לפתור בעיות שכאלו פותחו שיטות מתמטיות מיוחדות. בפרט, הפתרונות של משוואות אלגבריות נחקרים במסגרת משוואות דיופנטיות, ופתרונות בדידים/שלמים לבעיות אופטימזציה נחקרים במסגרת תכנון ליניארי בשלמים ואופטימיזציה קומבינטורית.

עיגול לשלמים

ערך מורחב – עיגול (אריתמטיקה)

ישנן בעיות מעשיות בהן יש צורך לעגל ערך ממשי למספר שלם, כלומר להחליף אותו במספר השלם קרוב ביותר (בכיוון זה או אחר). ישנן כמה דרכים שבהן ניתן לעגל ערך ממשי למספר שלם:

$\lfloor x\rfloor$ - פונקציית הערך השלם או פונקציית הרצפה (floor), מחזירה לכל מספר ממשי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} את המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} , הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lfloor x \rfloor:=\max \{k\in\Z \mid k\leq x\}} (מעגלת כלפי מטה). לדוגמה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lfloor 3.4 \rfloor = 3} ו-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lfloor -2.5 \rfloor = -3} .
הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lceil x \rceil} - פונקציית התקרה (ceiling), מחזירה לכל מספר ממשי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} את המספר השלם הקטן ביותר שגדול או שווה ל- $x$ , הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lceil x \rceil=\min \{n\in\mathbb{Z}\mid n\ge x\}} (מעגלת כלפי מעלה). לדוגמה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lceil 3.4 \rceil = 4} ו-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lceil -2.5 \rceil = -2} .
הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{int}(x)} - פונקציית קיטום, מחזירה לכל מספר ממשי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} את החלק השלם שלו לאחר קיטום של החלק השברי שלו. מתנהגת כמו פונקציית הרצפה עבור מספרים חיוביים, וכפונקציית התקרה בעבור מספרים שליליים. לדוגמה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{int}(3.4) = 3} ו-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{int}(-2.5) = -2} .
הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{nint}(x)} - פונקציית השלם הקרוב ביותר, לעתים רחוקות מסומנת גם ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lfloor x \rceil} או ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [x]} - מחזירה לכל מספר ממשי את המספר השלם הקרוב ביותר אליו, כאשר כל מספר שהחלק השברי שלו הוא חצי מעוגל למספר הזוגי הקרוב ביותר.^[17] לדוגמה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{nint}(2.5)=2} ו-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{nint}(3.8)=4} .^[18]

במדעי המחשב

ערך מורחב – טיפוס נתונים#שלמים

מספר שלם הוא אחד מטיפוסי הנתונים הפרימיטיביים בשפות תכנות. הוא נתמך מבחינות רבות ישירות על ידי המעבד, על ידי פעולות חיבור, הוספת אחד, הכפלה ב-2 או חלוקה ב-2 ועל פי רוב גם כפל וחילוק של שני מספרים שלמים כלשהם. בשל כך הפעולות על משתנים מטיפוס זה הן יעילות ביותר.

מכיוון שגודל הזיכרון במחשב מוגבל, בכל ייצוג שנבחר לא נוכל להציג את כל המספרים השלמים, ולכן בזמן תכנון השפה או כתיבת מימוש לשפה (מהדר או מפרש) צריך להחליט מהו טווח הערכים הרצוי. ישנן כמה שיטות לבחירת הטווח שנבדלות זו מזו במהירות החישובים ובגודל הזיכרון הנדרש. הבחירה הטבעית ביותר היא להשתמש בטווח המקסימלי הניתן לייצוג על ידי מילה במעבד הספציפי שבו מורצת התוכנית. בחירה כזאת משלבת תחום מספרים נרחב למדי יחד עם יעילות חישוב מקסימלית. עם זאת, הטווח עדיין מוגבל, וקיימת בעיה שהוא נעשה תלוי-מכונה - כלומר, תוכניות עלולות להתנהג שונה בהרצה על מחשבים שונים. אפשרות אחרת היא להגדיר מספר טיפוסים עבור מספר תחומים שונים, ולהשתמש בהם בהתאם לצורך. הגדרה זו עשויה לבוא יחד עם התאמה למכונה (כמו בשפות C או ++C) או על ידי הגדרה חד משמעית של הטווח עבור כל טיפוס (כמו בשפת ג'אווה). אפשרות שלישית היא להגדיר טיפוס יחיד בעל טווח לא חסום, ולייצג אותו בצורה האופטימלית ביותר על פי הערך הנוכחי שלו (כמו בשפת פייתון החל מגרסה 3.0).

מספרים טבעיים מיוצגים בזיכרון המחשב בייצוג בינארי פשוט. מספרים שליליים, לעומת זאת, מיוצגים בשיטת המשלים ל-2 או שיטת המשלים ל-1, ועקב כך החלוקה של המספרים השלמים במחשב היא בדרך כלל למספרים שליליים ומספרים א-שליליים בלבד, בשונה מהחלוקה ה"רגילה" של המספרים השלמים למספרים חיוביים, שליליים ואפס (למרות זאת, מחשב מסוגל לחשב האם מספר הוא חיובי ממש).

גודל הטווח שניתן להציג בגודל זיכרון כלשהו
גודל הזיכרון	גודל טווח הערכים
1 בתים (8 סיביות)	127- עד 128
2 בתים (16 סיביות)	32,768- עד 32,767
4 בתים (32 סיביות)	2,147,483,648- עד 2,147,483,647

ראו גם

לקריאה נוספת

Mendelson, Elliott, Number Systems and the Foundations of Analysis, Dover Publications, 1973, Dover Books on Mathematics, ISBN 978-0-486-45792-5
Warner, Seth, Modern Algebra, Dover Publications, 2012, Dover Books on Mathematics, ISBN 978-0-486-13709-4

קישורים חיצוניים

מספר שלם, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
מספר שלם, באתר MathWorld (באנגלית)
מספר שלם, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
גדי אלכסנדרוביץ', הדרך השלילית אל שדות הרציונליות, באתר "לא מדויק"

הערות שוליים

^ Weisstein, Eric W. "Rational Integer". mathworld.wolfram.com.
^ ^2.0 ^2.1 "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault.
^ Weisstein, Eric W. "Integer". mathworld.wolfram.com.
^ Weisstein, Eric W. "Ring of Integers". mathworld.wolfram.com.
^ ^5.0 ^5.1 ^5.2 Weisstein, Eric W. "Whole Number". mathworld.wolfram.com.
^ כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=p} מספר ראשוני נהוג להישאר עם הסימון הארוך לחבורה שכזו: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}} שכן הסימון הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}_p} מסמן את חוג השלמים ה-p-אדיים
^ ^7.0 ^7.1 "Integer | mathematics". Encyclopedia Britannica.
^ sci.math FAQ: What is 0^0?
"Wolfram Alpha calculates 0^0". Wolfram Alpha LLC.
^ חלוקה עם שארית נקראת לפעמים חלוקה אוקלידית
^ "The Definitive Higher Math Guide to Long Division and Its Variants — for Integers". Math Vault.
^ Serge, Lang, Algebra, Addison-Wesley, 1993, Dover Books on Mathematics, עמ' 86–87, ISBN 978-0-201-55540-0
^ כאן נתייחס לאפס כאל חלק מהמספרים הטבעיים (גם אם נלך לפי ההגדרה שאפס הוא לא מספר טבעי, נוכל להוסיף אותו למספרים הטבעיים כאיבר מיוחד שאדיש לחיבור)
^ Mendelson, Elliott, Number Systems and the Foundations of Analysis, Dover Publications, 1973, Dover Books on Mathematics, עמ' 86, ISBN 978-0-486-45792-5
^ Warner, Seth, Modern Algebra, 2012, Dover Books on Mathematics, עמ' 185, ISBN 978-0-486-13709-4
^ Suppes, P., Axiomatic Set Theory, Dover Publications, 1972, Dover Books on Mathematics, עמ' 128, ISBN 978-0-486-61630-8
^ Moore, G. H., Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development, and Influence, New York: Springer-Verlag, 1982, Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, עמ' 62, ISBN 978-0-387-90670-6
^ מספר שהחלק השברי שלו הוא חצי נמצא בדיוק בין שני מספרים שלמים, ולכן אין בחירה חד משמעית של השלם הקרוב ביותר
^ Weisstein, Eric W. "Nearest Integer Function". mathworld.wolfram.com.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

[1] Weisstein, Eric W. "Rational Integer". mathworld.wolfram.com.

[.D7.A1.D7.99.D7.9E.D7.95.D7.A0.D7.99.D7.9D_.D7.A0.D7.A4.D7.95.D7.A6.D7.99.D7.9D-2] 2.0 ^2.1 "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault.

[3] Weisstein, Eric W. "Integer". mathworld.wolfram.com.

[4] Weisstein, Eric W. "Ring of Integers". mathworld.wolfram.com.

[.D7.A1.D7.99.D7.9E.D7.95.D7.9F-5] 5.0 ^5.1 ^5.2 Weisstein, Eric W. "Whole Number". mathworld.wolfram.com.

[6] כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=p} מספר ראשוני נהוג להישאר עם הסימון הארוך לחבורה שכזו: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}} שכן הסימון הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}_p} מסמן את חוג השלמים ה-p-אדיים

[.D7.A1.D7.92.D7.99.D7.A8.D7.95.D7.AA-.D7.97.D7.99.D7.A1.D7.95.D7.A8-7] 7.0 ^7.1 "Integer | mathematics". Encyclopedia Britannica.

[8] sci.math FAQ: What is 0^0?
"Wolfram Alpha calculates 0^0". Wolfram Alpha LLC.

[9] חלוקה עם שארית נקראת לפעמים חלוקה אוקלידית

[10] "The Definitive Higher Math Guide to Long Division and Its Variants — for Integers". Math Vault.

[11] Serge, Lang, Algebra, Addison-Wesley, 1993, Dover Books on Mathematics, עמ' 86–87, ISBN 978-0-201-55540-0

[12] כאן נתייחס לאפס כאל חלק מהמספרים הטבעיים (גם אם נלך לפי ההגדרה שאפס הוא לא מספר טבעי, נוכל להוסיף אותו למספרים הטבעיים כאיבר מיוחד שאדיש לחיבור)

[13] Mendelson, Elliott, Number Systems and the Foundations of Analysis, Dover Publications, 1973, Dover Books on Mathematics, עמ' 86, ISBN 978-0-486-45792-5

[14] Warner, Seth, Modern Algebra, 2012, Dover Books on Mathematics, עמ' 185, ISBN 978-0-486-13709-4

[15] Suppes, P., Axiomatic Set Theory, Dover Publications, 1972, Dover Books on Mathematics, עמ' 128, ISBN 978-0-486-61630-8

[16] Moore, G. H., Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development, and Influence, New York: Springer-Verlag, 1982, Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, עמ' 62, ISBN 978-0-387-90670-6

[17] מספר שהחלק השברי שלו הוא חצי נמצא בדיוק בין שני מספרים שלמים, ולכן אין בחירה חד משמעית של השלם הקרוב ביותר

[18] Weisstein, Eric W. "Nearest Integer Function". mathworld.wolfram.com.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

מערכות מספרים
מספרים	המספרים הטבעיים $\mathbb {N}$ (מערכת פאנו) • חוג המספרים השלמים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}} (מספרים חיוביים ושליליים, מספר שלם) • שדה המספרים הרציונליים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Q}} (מספר רציונלי, מספר אי-רציונלי) • שדה המספרים הממשיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} (הישר הממשי, מספר ממשי) • שדה המספרים המרוכבים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{C}} (המישור המרוכב, מספר מרוכב, מספר מדומה)
הרחבות של חוג המספרים השלמים	חוג השלמים של גאוס הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Z}[i]} • חוג השלמים האלגבריים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \overline{\mathbb{Z}}} • חוג השלמים של אייזנשטיין הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Z}[\omega]}
הרחבות של שדה המספרים הרציונליים	שדה מספרים • שדה המספרים הניתנים לבנייה • שדה המספרים האלגבריים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \overline{\mathbb{Q}}} (מספר אלגברי, מספר טרנסצנדנטי) • שדה המספרים ה-p-אדיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Q}_p} (מספר p-אדי) • שדה ציקלוטומי
מעבר למרוכבים	אלגברת הקווטרניונים של המילטון הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ {\mathbb{H}}} • אוקטוניונים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ {\mathbb{O}}} • אלגברות קיילי-דיקסון