חבורות מתיו

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת החבורות, המשפחה של חבורות מתיו היא משפחה קטנה של חבורות סופיות, מהן פשוטות, המתאפיינות בפעולה רב־טרנזיטיבית. בהקשרים שונים, מונים מחמש ועד שמונה חבורות מתיו. לפי הגרסה המרחיבה, כוללת המשפחה את החבורות ו־ , שמהן הן חבורות פשוטות ספורדיות – הראשונות שהתגלו במסגרת משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות אחרי חבורות התמורות הזוגיות (גם פשוטה, אלא שהיא איזומורפית לחבורת המטריצות ). אכן, את החבורות בנה אמיל לאונרד מת'יו (1835–1890).

בניית חבורות מתיו

החבורה היא תת־חבורה מאינדקס 2 של , כאשר הומומורפיזם פרובניוס של השדה (שתי האחרות הן ו־), ולכן היא פועלת על הישר הפרויקטיבי . פעולה זו היא פעולה 3-טרנזיטיבית חדה.

אם מוסיפים ל־ את התמורה , כאשר יוצר של השדה מסדר 9, המקיים , מתקבלת החבורה , שפעולתה על היא 4־טרנזיטיבית־בחדות. חבורה זו היא חבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר , שהיא היחידה עם פרמטרים אלו.

כשמוסיפים לזה את התמורה , מתקבלת החבורה , שפעולתה על היא 5־טרנזיטיבית־בחדות. חבורה זו היא חבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר , היחידה עם פרמטרים אלו.

החבורה פועלת באופן טבעי על 16+4+1=21 הישרים הפרויקטיביים. הרחבה שלה הפועלת על 22 נקודות עם מייצב של נקודה השווה לחבורה הקודמת, נקראת . הפעולה של חבורה זו היא 3־טרנזיטיבית, ואינה חדה (המייצב של שלשת נקודות הוא מסדר 48). זוהי תת־חבורה מאינדקס 2 בחבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר . החבורה מוכלת בחבורה הפועלת באופן 4־טרנזיטיבי על 23 נקודות, כך שהמייצב של נקודה הוא (ולכן המייצב של ארבע נקודות הוא מסדר 48); זוהי חבורת האוטומורפיזמים של  ; ובסופו של דבר, חבורת האוטומורפיזמים של המערכת פועלת על 24 הנקודות באופן 5-טרנזיטיבי, עם מייצב של נקודה השווה ל־ .


Logo hamichlol.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0