חבורת הייזנברג

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת החבורות, חבורת הייזנברג היא חבורה מעל חוג חילופי, הבנויה מהמטריצות המשולשיות העליונות בגודל , עם אחדות באלכסון, יחד עם פעולת כפל מטריצות.

החבורה נקראת על שמו של הפיזיקאי הגרמני ורנר הייזנברג. לחבורה קשרים חשובים למכניקה קוונטית, ובעזרתה ניתן לנסח את משפט סטון-פון נוימן בשפה של תורת ההצגות. מעל שדות סופיים, מהווה חבורת הייזנברג חבורת-p בעלת תכונות מעניינות, ועוזרת בבחקר תכונות של חבורות-p.

הגדרה

יהי חוג חילופי. חבורת הייזנברג (מממד 3) מעל החוג היא החבורה המכילה את המטריצות

כאשר . הפעולה בחבורה היא כפל מטריצות, ואיבר היחידה שלה הוא מטריצת היחידה.

המבנה הנתון אכן מהווה חבורה, שכן הוא סגור לכפל:

ולכל איבר יש איבר הפיך (ללא הדרישה שהאיברים יהיו הפיכים בעצמם):

דוגמאות

חבורת הייזנברג הממשית

כאשר לוקחים את החוג להיות שדה המספרים הממשיים , מתקבלת חבורת הייזנברג הממשית, או חבורת הייזנברג הרציפה.

במקרה זה, מתקבלת חבורת לי נילפוטנטית מסדר 3. לפי משפט סטון-פון נוימן, לחבורה זו יש הצגה יחידה עליה המרכז פועל כמו קרקטר.

חבורת הייזנברג הבדידה

כאשר בוחרים את החוג להיות חוג המספרים השלמים , מתקבלת חבורת הייזנברג הדיסקרטית. זוהי חבורה נילפוטנטית, אשר נוצרת על ידי שני האיברים:

אם מסמנים , לחבורה מתקבלים היחסים הבאים:

.

במקרה זה, האיבר יוצר את המרכז של החברה, וכל איבר שלה ניתן לכתוב מהצורה

.

מעל שדה סופי

חבורת הייזנברג מעל השדה הסופי היא מסדר ומאקספוננט . ניתן לתאר אותה על ידי היחסים הבאים:

חבורות אלו הן חבורות מאוד מיוחדות(אנ') - חבורת-p בה המרכז איזומורפי ל- וחבורת המנה היא אבלית וכל איבר לא טריוויאלי בה הוא מסדר .

במקרה של , מתקבלת החבורה הדיהדרלית .

אלגברת לי המתאימה

לחבורת הייזנברג הממשית ניתן להתאים את אלגברת לי המכילה את המטריצות הבאות:

,

עם הבסיס הבא:

איברי הבסיס מקיימים את היחסים הבאים, המזכירים את יחסי החילוף הקנוניים במכניקה קוונטית:

ההתאמה בין אלגברת לי לחבורת הייזנברג, בעזרת פונקציית האקספוננט, היא הפיכה.

Logo hamichlol 3.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0