חבורת הקווטרניונים

גרף קיילי של חבורת הקווטרניונים. חצים אדומים מייצגים כפל מימין ב-i וחצים ירוקים מייצגים כפל מימין ב-j.

חבורת הקווטרניונים היא חבורה לא אבלית מסדר 8. מקובל לסמן את החבורה Q₈ או פשוט Q.

ניתן להציג את החבורה כך: $Q=\langle -1,i,j,k\mid (-1)^{2}=1,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\rangle \,\!$. זוהי הצגה נוחה, אך בזבזנית של Q. למעשה החבורה נוצרת גם על ידי שני איברים בלבד, וניתן להציגה כ-$\langle x,y\mid x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle \,\!$. x, y הם כל שניים מבין i, j, k. לוח הכפל של החבורה הוא:

×	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
1	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
−1	−1	1	−i	i	−j	j	−k	k
i	i	−i	−1	1	k	−k	−j	j
−i	−i	i	1	−1	−k	k	j	−j
j	j	−j	−k	k	−1	1	i	−i
−j	−j	j	k	−k	1	−1	−i	i
k	k	−k	j	−j	−i	i	−1	1
−k	−k	k	−j	j	i	−i	1	−1

חברות הקווטרניונים עומדת בבסיס אלגברת הקווטרניונים של המילטון $\mathbb {H}$. האחרונה היא אוסף הצירופים הלינאריים מעל הממשיים של איברי חבורת הקווטרניונים. כלומר: $\mathbb {H} =\{a+ib+jc+kd\mid a,b,c,d\in \mathbb {R} \}$.

הצגה לינארית

חבורת הקווטרניונים ניתנת להצגה לינארית כתת חבורה של $\ \mathrm {SL} _{2}(\mathbf {C} )$, החבורה הלינארית המיוחדת מסדר 2 מעל המרוכבים, הכוללת את איברי החבורה הלינארית הכללית $\ \mathrm {GL} _{2}(\mathbf {C} )$ שהדטרמיננטה שלהם היא 1:

$1\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad i\mapsto {\begin{pmatrix}{\sqrt {-1}}&0\\0&-{\sqrt {-1}}\end{pmatrix}},\quad j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\quad k\mapsto {\begin{pmatrix}0&{\sqrt {-1}}\\{\sqrt {-1}}&0\end{pmatrix}}$

הצגה נוספת של Q היא כתת-חבורה של $\ \mathrm {SL} (2,3)$, חבורת המטריצות 2×2 מעל השדה הסופי מסדר 3 (שאיבריו הם $\ -1,0,1$):

$1\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad i\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}},\quad j\mapsto {\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}},\quad k\mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$

הצגה זו מראה ש-Q היא תת חבורה נורמלית מאינדקס 3 של $\ \mathrm {SL} (2,3)$ (שהסדר שלה הוא 24).

תכונות

חבורת הקווטרניונים היא החבורה הקטנה ביותר שהיא המילטונית - חבורה לא אבלית שכל התת-חבורות שלה הן נורמליות. כל חבורה המילטונית מכילה את חבורת הקווטרניונים.

המרכז של החבורה הוא {1, −1}. חבורת המנה ביחס למרכז וחבורת האוטומורפיזמים הפנימיים של חבורת הקווטרניונים איזומורפיות לחבורת הארבעה של קליין. חבורת האוטומורפיזם הכללית איזומורפית לחבורה הסימטרית S₄ וחבורת האוטומורפיזם החיצונית ל-S₃.

ראו גם

• חבורת קווטרניונים מוכללת