חבורת הקווטרניונים

חבורת הקווטרניונים היא חבורה לא אבלית מסדר 8. מקובל לסמן את החבורה Q8 או פשוט Q.
ניתן להציג את החבורה כך: . זוהי הצגה נוחה, אך בזבזנית של Q. למעשה החבורה נוצרת גם על ידי שני איברים בלבד, וניתן להציגה כ-. x, y הם כל שניים מבין i, j, k. לוח הכפל של החבורה הוא:
× | 1 | −1 | i | −i | j | −j | k | −k |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | −1 | i | −i | j | −j | k | −k |
−1 | −1 | 1 | −i | i | −j | j | −k | k |
i | i | −i | −1 | 1 | k | −k | −j | j |
−i | −i | i | 1 | −1 | −k | k | j | −j |
j | j | −j | −k | k | −1 | 1 | i | −i |
−j | −j | j | k | −k | 1 | −1 | −i | i |
k | k | −k | j | −j | −i | i | −1 | 1 |
−k | −k | k | −j | j | i | −i | 1 | −1 |
חברות הקווטרניונים עומדת בבסיס אלגברת הקווטרניונים של המילטון . האחרונה היא אוסף הצירופים הלינאריים מעל הממשיים של איברי חבורת הקווטרניונים. כלומר: .
הצגה לינארית
חבורת הקווטרניונים ניתנת להצגה לינארית כתת חבורה של , החבורה הלינארית המיוחדת מסדר 2 מעל המרוכבים, הכוללת את איברי החבורה הלינארית הכללית שהדטרמיננטה שלהם היא 1:
הצגה נוספת של Q היא כתת-חבורה של , חבורת המטריצות 2×2 מעל השדה הסופי מסדר 3 (שאיבריו הם ):
הצגה זו מראה ש-Q היא תת חבורה נורמלית מאינדקס 3 של (שהסדר שלה הוא 24).
תכונות
חבורת הקווטרניונים היא החבורה הקטנה ביותר שהיא המילטונית - חבורה לא אבלית שכל התת-חבורות שלה הן נורמליות. כל חבורה המילטונית מכילה את חבורת הקווטרניונים.
המרכז של החבורה הוא {1, −1}. חבורת המנה ביחס למרכז וחבורת האוטומורפיזמים הפנימיים של חבורת הקווטרניונים איזומורפיות לחבורת הארבעה של קליין. חבורת האוטומורפיזם הכללית איזומורפית לחבורה הסימטרית S4 וחבורת האוטומורפיזם החיצונית ל-S3.