חוג האנדומורפיזמים

בתורת החוגים, חוג האנדומורפיזמים של חבורה אבלית או מודול M הוא החוג הכולל את כל האנדומורפיזמים של המודול, כלומר, את כל ההעתקות $f:M\rightarrow M$ השומרות על מבנה המודול. תפקידו של חוג האנדומורפיזמים בתורת החוגים מקביל לזה של חבורת האוטומורפיזמים בתורת החבורות - האנדומורפיזמים הם הסימטריות של המודול, וחוג האנדומורפיזמים מקודד את הקשרים בין המבנה לבין הסימטריות שלו.

אנדומורפיזם של חבורה אבלית הוא העתקה שומרת חיבור מן החבורה אל עצמה. כאשר מדובר במודול (שמאלי, מעל חוג R), נוספת הדרישה לכבד את פעולת הכפל בסקלר, כלומר $\ f(ax)=af(x)$ לכל $\ a\in R$. פעולת החיבור בחוג האנדומורפיזמים מוגדרת נקודתית, כלומר $\ (f+g)(x)=f(x)+g(x)$, והכפל הוא הרכבת פונקציות.

חוג האנדומורפיזם פועל בעצמו על המודול M, באופן ההופך אותו לבימודול מעל R (משמאל) ו-$\ S=\operatorname {End} (M_{R})$ (מימין). חזרה על בניה זו מייצרת את חוג האנדומורפיזמים $\ {\hat {R}}=\operatorname {End} ({}_{S}M)$ של M מעל S, המצויד בהומומורפיזם טבעי $\ R\rightarrow {\hat {R}}$, שהוא שיכון אם המודול נאמן. אם המודול פשוט ונאמן, אז תמונת השיכון צפופה (זהו משפט הצפיפות של ג'ייקובסון).

כאשר V מרחב וקטורי מעל שדה F, האידאלים היחידים של חוג האנדומורפיזמים מגיעים מהגבלות על הממד של התמונה והגרעין של אברים. יש בניה כללית יותר המתאימה למודולים שיש להם תת-מודולים עיקריים: $\ \Delta =\{f\in \operatorname {End} (M)|Ker(f)\subseteq _{e}M\}$ הוא תמיד אידאל (דו-צדדי) בחוג האנדומורפיזמים.

מודולים שחוג האנדומורפיזמים שלהם מקומי נקראים מודולי LE. חוג האנדומורפיזם הוא מושלם למחצה אם ורק אם המודול הוא סכום ישר של מודולי LE.

ראו גם

• חבורת האוטומורפיזמים