חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג'

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג' הוא משפט בתורת ההסתברות שהוכיחו המתמטיקאים אדווין יואיט ולאונרד סאוואג'. המשפט מתאר מאורעות שהסתברותם היא 0 או 1 בלבד.

באופן לא לגמרי פורמלי, המשפט קובע כי בהינתן סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי-התפלגות, כל מאורע שנקבע על ידי המשתנים המקריים הללו, אך שאינו תלוי באף שינוי סדר של מספר סופי מתוך המשתנים המקריים, הוא בהכרח קורה או בהכרח לא קורה בהסתברות 1.

נוסח פורמלי

תהי $\mu$ מידת הסתברות על $\left(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}\right)$, כאשר ${\mathcal {B}}$ היא סיגמא אלגברת בורל.

נדון במרחב המכפלה $\left(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)$, כאשר ${\mathcal {F}}=\otimes _{i\in \mathbb {N} }{\mathcal {B}}$ וכן $\mathbb {P} =\otimes _{i\in \mathbb {N} }\mu$. נשים לב כי במרחב זה המשתנים המקריים $\left\{X_{i}\right\}_{i\in \mathbb {N} }$ המוגדרים $X_{i}\left(\left(x_{i}\right)_{x\in \mathbb {N} }\right)=x_{i}$ הם כולם בלתי-תלויים, והם גם שווי-התפלגות, שכן כל אחד מהם בעל ההתפלגות $\mu$.

נתבונן בחבורה ${\mathcal {S}}$ של התמורות הסופיות על $\mathbb {N}$, כלומר התמורות שמשנות רק מספר סופי של איברים. נשים לב כי ${\mathcal {S}}$ פועלת על $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$, על ידי כך שכל תמורה סופית $\pi \in {\mathcal {S}},\pi :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$, משרה העתקה $T_{\pi }:\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\to \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$, על ידי $T_{\pi }\left(\left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }\right)=\left(x_{\pi (i)}\right)_{i\in \mathbb {N} }$.

אזי חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג' קובע כי הפעולה היא ארגודית. כלומר, לכל מאורע $A\in {\mathcal {F}}$, אם $T_{\pi }^{-1}\left(A\right)=A$ לכל $\pi \in {\mathcal {S}}$, אז $\mathbb {P} \left(A\right)=0$ או $\mathbb {P} \left(A\right)=1$.

הוכחה

תחילה ניתן להראות כי המשפחה ${\mathcal {E}}=\left\{E\mid T^{-1}\left(E\right)=E\right\}\subset {\mathcal {F}}$ מהווה תת-סיגמא-אלגברה.

אם כך תהי $E\in {\mathcal {E}}$. נתבונן בהעתקה המציינת $1_{E}$, ונשתמש בעובדה הבאה: קיימת סדרה של העתקות $\left(g_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ החסומות על ידי $1$, כך שלכל $n$ ההעתקה $g_{n}$ היא מדידה ביחס לסיגמא-אלגברה ${\mathcal {F}}_{n}=\sigma \left(X_{1},X_{2},...,X_{n}\right)$, ומתקיים $\mathbb {E} \left|1_{E}-g_{n}\right|\to 0$ כאשר $n\to \infty$.

תהי $g_{n}$ העתקה כלשהי שהיא ${\mathcal {F}}_{n}$-מדידה. נבחר תמורה $\pi \in {\mathcal {S}}$ שמקיימת $\left\{1,2,...,n\right\}\cap \left\{\pi \left(1\right),\pi \left(2\right),...,\pi \left(n\right)\right\}=\emptyset$. יש כזאת, כי ניתן למשל לבחור את התמורה שמחליפה את המספרים $1,2,...,n$ עם המספרים $n+1,n+2,...,2n$, ואת כל שאר המספרים משאירה במקומם.

תחילה נשים לב כי $g_{n}\circ T_{\pi }$ היא העתקה בלתי-תלויה ב-${\mathcal {F}}_{n}$, ולכן מתקיים $\mathbb {E} \left[g_{n}\right]^{2}=\mathbb {E} \left[g_{n}\right]\cdot \mathbb {E} \left[g_{n}\circ T_{\pi }\right]=\mathbb {E} \left[g_{n}\cdot g_{n}\circ T_{\pi }\right]$. כמו כן נבחין כי מההנחה לגבי $E$ נובע כי $1_{E}\circ T_{\pi }=1_{T^{-1}\left(E\right)}=1_{E}$, ולכן נובע כי $\mathbb {E} \left[1_{E}\right]=\mathbb {E} \left[1_{E}^{2}\right]=\mathbb {E} \left[1_{E}\cdot 1_{E}\circ T_{\pi }\right]$.

עוד נשים לב כי מתקיים:

$\left|\mathbb {E} \left[1_{E}\right]-\mathbb {E} \left[g_{n}\right]^{2}\right|=\left|\mathbb {E} \left[1_{E}\cdot 1_{E}\circ T_{\pi }-g_{n}\cdot g_{n}\circ T_{\pi }\right]\right|$

$\leq \mathbb {E} \left|\left(1_{E}-g_{n}\right)\cdot 1_{E}\circ T_{\pi }\right]+\mathbb {E} \left|g_{n}\cdot \left(1_{E}\circ T_{\pi }-g_{n}\circ T_{\pi }\right)\right|$

$\leq \mathbb {E} \left|1_{E}-g_{n}\right|+\mathbb {E} \left|1_{E}\circ T_{\pi }-g_{n}\circ T_{\pi }\right|=2\cdot \mathbb {E} \left|1_{E}-g_{n}\right|{\underset {\scriptstyle n\to \infty }{\longrightarrow 0}}$

כעת נוכל להסיק כי:

,$\left|\mathbb {P} \left(E\right)-\mathbb {P} \left(E\right)^{2}\right|=\left|\mathbb {E} \left[1_{E}\right]-\mathbb {E} \left[1_{E}\right]^{2}\right|\leq \left|\mathbb {E} \left[1_{E}\right]-\mathbb {E} \left[g_{n}\right]^{2}\right|+\left|\mathbb {E} \left[1_{E}\right]^{2}-\mathbb {E} \left[g_{n}\right]^{2}\right|$

ממה שהראינו נובע כי שני הנסכמים שואפים לאפס, ולכן בהכרח $\mathbb {P} \left(E\right)=\mathbb {P} \left(E\right)^{2}$, כלומר $\mathbb {P} \left(E\right)=0$ או $\mathbb {P} \left(E\right)=1$.

דוגמאות

בדומה לחוק האפס-אחד של קולמוגורוב, מאורעות זנב גבוליים, כדוגמת $\left\{\sum _{i=1}^{\infty }X_{i}<\infty \right\}$, הם מאורעות שאינם תלויים בהחלפת הסדר של אף קבוצה סופית של המשתנים המקריים, ולכן גם חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג' קובע כי הסתברותם היא 0 או 1.

דוגמה שלא ניתן להסיק מתוך חוק האפס-אחד של קולמוגורוב, היא הילוך מקרי פשוט $\left\{X_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ על המספרים השלמים, בהסתברות $p$ ללכת ימינה ובהסתברות המשלימה ללכת שמאלה, כלומר $\mathbb {P} \left(X_{n}=X_{n-1}+1\right)=1-\mathbb {P} \left(X_{n}=X_{n-1}-1\right)=p$ באופן בלתי תלוי לכל $n$. במצב זה נתבונן בסדרת המשתנים המקריים $\left\{S_{N}\right\}_{N=1}^{\infty }$ המוגדרים $S_{N}=\sum _{n=1}^{N}X_{n}$, כלומר $S_{N}$ קובע היכן נמצא ההילוך בצעד ה-$N$. אזי המאורע $\left\{\limsup _{N}\left\{S_{N}=0\right\}\right\}$, כלומר המאורע שמתאר כי ההילוך המקרי חוזר אינסוף פעמים ל-$0$, הוא מאורע שכמובן נקבע על ידי $\left\{X_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$, והוא לא תלוי באף תמורה סופית על $N$. לכן לפי חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג' הוא בעל הסתברות 0 או 1 בלבד.

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב אינו מספיק כדי לקבוע כי המאורע הנ"ל הוא מאורע בעל הסתברות 0 או 1 בלבד, שכן $\left\{S_{N}\right\}_{N=1}^{\infty }$ הם משתנים מקריים תלויים.

קישורים חיצוניים

• Bruce K. Driver, Probability Tools with Examples , 2010

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

19490335חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג'