קבוצת בורל

קבוצת בורל היא קבוצה השייכת לסיגמא-אלגברה של בורל של מרחב טופולוגי נתון. סיגמא-אלגברה זו נוצרת על ידי הקבוצות הפתוחות שבמרחב. לעיתים מגדירים סיגמא-אלגברה זו להיות נוצרת על ידי הקבוצות הקומפקטיות. באופן כללי זו אינה הגדרה שקולה, אבל במרחב מטרי ספרבילי שהוא קומפקטי מקומי שתי ההגדרות מזדהות.

בישר הממשי

הדוגמה המפורסמת ביותר היא הסיגמא-אלגברה של הישר הממשי, הנוצרת על ידי הקטעים הפתוחים.

• כל קבוצה פתוחה היא קבוצת בורל.
• כל קבוצה סגורה היא קבוצת בורל (סגירות תחת משלים).
• כל קטע (פתוח או סגור; חצי פתוח; סופי או לא) הוא קבוצת בורל.
• כל איחוד בן מנייה של קבוצות סגורות ( הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F_{\sigma}} ) הוא קבוצת בורל.
• כל חיתוך בן מנייה של קבוצות פתוחות ( הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G_{\delta}} ) הוא קבוצת בורל.
• כל איחוד או חיתוך בן-מנייה של הקבוצות לעיל גם הוא קבוצת בורל.

ניתן להגדיר את סיגמא-אלגברת בורל בישר הממשי באופן קונסטרוקטיבי באמצעות אינדוקציה טרנספיניטית. מגדירים את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B_0} כקבוצת כל הקבוצות שהן פתוחות או סגורות. לכל סודר עוקב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha+1} מגדירים את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B_{\alpha+1}} כקבוצת כל האיחודים בני המנייה של איברי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B_\alpha} , או משלימים של איחודים כאלה. לכל סודר גבולי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} מגדירים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B_{\gamma} = \bigcup_{\beta<\gamma} B_{\beta}} . אלגברת בורל היא הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B_{\omega_1}} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_1} הוא הסודר הקטן ביותר שאינו בן מנייה.

כל קבוצת בורל היא קבוצה מדידה לפי מידת לבג (משמע אפשר להתאים לה "אורך"). מידת לבג כשהיא מצומצמת לאלגברת בורל נקראת מידת בורל.

מהבנייה הקונסטרוקטיבית של קבוצות בורל נובע שיש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \aleph} (עוצמת הרצף) קבוצות בורל. הרבה פחות מאשר הקבוצות המדידות לבג, הכוללות את קבוצות בורל, ומהן יש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^{\aleph}} .

ראו גם

• דוגמה לקבוצה מדידה לבג שאינה קבוצת בורל

הערות שוליים

קבוצת_בורל19705749Q21086747