יחידה חוזרת

יחידה חוזרת (באנגלית: Repunit, הלחם בסיסים של repeated unit) הוא מספר טבעי שכל ספרותיו הם אחדות, כגון 1, 11 ו-11111. המספרים שהם יחידות חוזרות משתנים מבסיס ספירה אחד למשנהו. היחידה החוזרת בבסיס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} שלו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ספרות מסומן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^{(b)}_n} .

הגדרה והצגה

לפי ההגדרה של ייצוג מספר בבסיס ספירה b יחידה חוזרת הוא סכום הטור הגאומטרי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^{(b)}_n=\sum_{i=0}^{n-1}b^i=1+b+b^2+\cdots+b^{n-1}}

כאשר הבסיס הוא בסיס אונארי (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b=1} ) כל מספר הוא יחידה חוזרת ומתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^{(b)}_n=n} . לפי הנוסחה לסכום טור גאומטרי, לכל בסיס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b>1} מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^{(b)}_n=\frac{b^n-1}{b-1}}

למשל בשיטה העשרונית הנפוצה יחידות חוזרות הם מספרים מהצורה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^{(10)}_n=\frac{10^n-1}{9}}

למשל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^{(10)}_3=\frac{1000-1}{9}=111}

מקרה פרטי חשוב הוא בבסיס בינארי (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b=2} ), אז מתקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^{(2)}_n=\frac{2^n-1}{2-1}=2^n-1}

כלומר היחידות החוזרות בבסיס בינארי הם מספרי מרסן.

מחלקים וראשוניות

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} מתחלק ב־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^{(b)}_n} מתחלק ב־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^{(b)}_m} . זאת בהסתמך על הזהות האלגברית הבסיסית:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {R^{(b)}_m\cdot\sum_{i=0}^{\frac{n}{m}-1}b^{im}=(1+b+b^2+\cdots+b^{m-1})(1+b^m+b^{2m}+\cdots+b^{n-m})=1+b+b^2+\cdots+b^{n-1}=R^{(b)}_n}}

לכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^{(b)}_n} פריק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} פריק ו־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^{(b)}_n} יכול להיות ראשוני רק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ראשוני. המשפט ההפוך אינו נכון – ייתכן כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ראשוני ו־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^{(b)}_n} פריק. למשל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^{(10)}_3=111=3\times37} .

בשל העניין הרב בבדיקת ראשוניות ופירוק לגורמים חוקרים רבים חיפשו יחידות חוזרות ראשוניים. היחידות החוזרות הראשוניים הראשונות בבסיס עשרוני הם

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^{(10)}_2,R^{(10)}_{19},R^{(10)}_{23},R^{(10)}_{317},R^{(10)}_{1031},\ldots}

נכון לשנת 2010 היחידה החוזרת הגדול ביותר החשוד כראשוני הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^{(10)}_{270343}} ולא נמצא חשוד אחר עד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^{(10)}_{1300000}} .

משערים כי בבסיסים מסוימים (למשל עשרוני ובינארי) ישנם אינסוף יחידות חוזרות ראשוניים, אולם טרם הוכח מקרה כזה. ידועים בסיסים בהם יש רק מספר סופי של יחידות חוזרות ראשוניים. למשל ידוע כי לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} מתקיים כי 3 תמיד מחלק את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^n+1} או את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^n-1} (כי הוא בוודאי לא מחלק את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^n} והוא חייב לחלק אחד מבין שלושה עוקבים) ולכן בבסיס 4: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^{(4)}_n=\frac{4^n-1}{3}=\frac{(2^n+1)(2^n-1)}{3}} הוא תמיד פריק למעט במקרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^{(4)}_2=5} . בדרך דומה מראים כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^{(8)}_3=73} הוא היחידה החוזרת הראשוני היחיד בבסיס 8, ושאין כלל יחידות חוזרות ראשוניים בבסיס 9.

מקרה חשוב במיוחד הוא מציאת יחידות חזרות ראשוניים בבסיס בינארי, הלו הם מספרי מרסן ראשוניים. ראשוניים כאלה משמשים למציאת מספרים משוכללים (מכל מספר מרסן ראשוני ניתן לבנות מספר משוכלל), ובאופן יחסי, קל לבדוק את הראשוניות שלהם. לכן המספרים הראשוניים הגדולים ביותר הידועים כיום הם מספרי מרסן.

השערת גורמאגטיג

השערת גורמאגטיג היא ההשערה שהמספרים היחידים שהם יחידות חוזרות עם יותר משלוש ספרות בשני בסיסים שונים (לא כולל בסיס אונרי), הם 31 (בבסיס 2 ו-5) ו-8191 (בבסיס 2 ו-90). יחידה_חוזרת16957155Q1199125