כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל

כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל (על שם המתמטיקאי גוטפריד וילהלם לייבניץ) הוא כלל שימושי בחשבון אינפיניטסימלי לגזירת ביטויים מהצורה $\int \limits _{a(y)}^{b(y)}f(x,y)dx$ .

ניסוח הכלל

תהי $f(x,y)$ פונקציה רציפה במלבן $[a,b]\times [\alpha ,\beta ]$ , וגזירה ברציפות לפי $y$ ( ${\frac {\partial f}{\partial y}}$ קיימת ורציפה). נניח בנוסף שהפונקציות $a(y),b(y)$ גזירות בקטע $[\alpha ,\beta ]$ . אזי

{\frac {d}{dy}}\int \limits _{a(y)}^{b(y)}f(x,y)dx=\int \limits _{a(y)}^{b(y)}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx+f(b(y),y)b'(y)-f(a(y),y)a'(y)

מקרה פרטי ונפוץ של הכלל הוא כאשר הפונקציות $a(y),b(y)$ קבועות, כלומר $a(y)\equiv a,b(y)\equiv b$ . אז נקבל כי

{\frac {d}{dy}}\int \limits _{a}^{b}f(x,y)dx=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx

הוכחת הכלל

שלב א – הוכחת המקרה הפרטי

תהי $g(x,y)$ רציפה. נגדיר

G(y)=\int \limits _{a}^{b}g(x,y)dx

ונטען שהיא רציפה. יהי $\varepsilon >0$ .

לפי משפט קנטור, כיוון ש- $g$ רציפה בתחום קומפקטי (מלבן) היא רציפה במידה שווה שם. מכאן שקיים $\delta >0$ כך שאם $d{\bigl (}(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}){\bigr )}<\delta$ אז ${\bigl |}g(x_{1},y_{1})-g(x_{2},y_{2}){\bigr |}<\varepsilon$ .

יהיו $y_{1},y_{2}\in [\alpha ,\beta ]$ המקיימים $|y_{1}-y_{2}|<\delta$ . אבל $d{\bigl (}(x,y_{1}),(x,y_{2}){\bigr )}=|y_{1}-y_{2}|<\delta$ ולכן

|G(y_{1})-G(y_{2})|=\left|\int \limits _{a}^{b}g(x,y_{1})dx-\int \limits _{a}^{b}g(x,y_{2})dx\right|=\left|\int \limits _{a}^{b}{\bigl (}g(x,y_{1})-g(x,y_{2}){\bigr )}dx\right|\leq \int \limits _{a}^{b}{\bigl |}g(x,y_{1})-g(x,y_{2}){\bigr |}dx<\int \limits _{a}^{b}\varepsilon \,dx=\varepsilon (b-a)

מכאן ש- $G$ אכן רציפה (ולמעשה אפילו במידה שווה).

בפרט אם נבחר $G(y)=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx$ היא רציפה מההנחה כי ${\frac {\partial f}{\partial y}}$ רציפה. נסמן $F(y)=\int \limits _{a}^{b}f(x,y)dx$ . נבחר $\gamma \in [\alpha ,\beta ]$ כלשהו. על פי משפט פוביני ונוסחת ניוטון-לייבניץ מתקיים

$\int \limits _{\alpha }^{\gamma }G(y)dy=\int \limits _{\alpha }^{\gamma }\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dxdy=\int \limits _{a}^{b}\int \limits _{\alpha }^{\gamma }{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dydx=\int \limits _{a}^{b}[f(x,\gamma )-f(x,\alpha )]dx=F(\gamma )-F(\alpha )$

מכיוון שהנוסחה נכונה לכל $\gamma \in [\alpha ,\beta ]$ , נובע מהמשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי שהפונקציה $F$ גזירה ומתקיים ${\frac {d}{dy}}F(y)=G(y)$ לכל $y\in [\alpha ,\beta ]$ , כנדרש.

שלב ב – הוכחת המקרה הכללי

אנו רוצים לחשב את נגזרת הפונקציה $F(y)=\int \limits _{a(y)}^{b(y)}f(x,y)dx$ .

לשם כך נגדיר פונקציה חדשה $\phi (s,t,y)=\int \limits _{s}^{t}f(x,y)dx$ ונבחין כי $F(y)=\phi (a(y),b(y),y)$ .

מהמשפט היסודי הנגזרות החלקיות של $\phi$ לפי $s,t$ בהתאמה הן

{\frac {\partial \phi }{\partial t}}(s,t,y)=f(t,y),\quad {\frac {\partial \phi }{\partial s}}(s,t,y)=-f(s,y)

ואלה רציפות מההנחה כי $f(x,y)$ רציפה. בנוסף, מהמקרה הפרטי של המשפט, הנגזרת החלקית של $\phi$ לפי $y$ היא

{\frac {\partial \phi }{\partial y}}(s,t,y)=\int \limits _{s}^{t}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx

וזו פונקציה רציפה מההנחה כי ${\frac {\partial f}{\partial y}}$ רציפה. מכיוון שכל הנגזרות החלקיות של $\phi$ קיימות ורציפות, נסיק שהיא דיפרנציאבילית. לכן גם $F$ דיפרנציאבילית, ומכלל השרשרת מתקיים

{\begin{aligned}F'(y)&={\frac {\partial \phi }{\partial s}}(a(y),b(y),y)\cdot a'(y)+{\frac {\partial \phi }{\partial t}}(a(y),b(y),y)\cdot b'(y)+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}(a(y),b(y),t)\\&=-f(a(y),y)a'(y)+f(b(y),y)b'(y)+\int \limits _{a(y)}^{b(y)}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx\end{aligned}}

כנדרש.

דוגמאות

דוגמה 1 – גבולות התלויים במשתנה הגזירה

נחשב את הנגזרת הבאה ( $x>0$ ):

{\frac {d}{dx}}\int \limits _{x}^{x^{2}}{\frac {\cos(t)}{t}}dt={\frac {\cos(x^{2})}{x^{2}}}\cdot {\frac {d}{dx}}(x^{2})-{\frac {\cos(x)}{x}}\cdot {\frac {d}{dx}}(x)={\frac {\cos(x^{2})}{x^{2}}}\cdot 2x-{\frac {\cos(x)}{x}}\cdot 1={\frac {2\cos(x^{2})-\cos(x)}{x}}

דוגמה 2 – שימוש בכלל לחישוב אינטגרלים

נחשב את האינטגרל $\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-1}{\ln(x)}}dx$ .

לשם כך נסמן $f(\alpha )=\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha }-1}{\ln(x)}}dx$ עבור $\alpha \geq 0$ והאינטגרל בו אנו מתעניינים הוא $f(2)$ . נגזור ונקבל

f'(\alpha )={\frac {d}{d\alpha }}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha }-1}{\ln(x)}}dx=\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{\ln(x)}}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}(e^{\alpha \ln(x)}-1)dx=\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{\ln(x)}}\ln(x)\cdot e^{\alpha \ln(x)}dx=\int \limits _{0}^{1}x^{\alpha }dx={\frac {x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}{\Bigg |}_{0}^{1}={\frac {1}{\alpha +1}}

מכאן $f(\alpha )=\int {\frac {1}{\alpha +1}}d\alpha =\ln(\alpha +1)+C$ .

נבחין כי $f(0)=\int \limits _{0}^{1}0\,dx=0$ . אזי $f(0)=\ln(0+1)+C=C=0$ , כלומר $f(\alpha )=\ln(\alpha +1)$ ולכן $\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-1}{\ln(x)}}dx=\ln(3)$ .