המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי (נקרא גם המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי או משפט ניוטון-לייבניץ) קושר בין שני מושגי היסוד של החשבון האינפיניטסימלי, הנגזרת והאינטגרל, ומראה שגזירה ואינטגרציה הן פעולות הופכיות זו לזו:

אם פונקציה רציפה עוברת אינטגרציה ואחר כך גוזרים את התוצאה, חוזרים לפונקציה המקורית. פרט לקשר זה, המשפט גם מספק שיטה מעשית לחישוב האינטגרל המסוים, שהוא מושג שמוגדר בצורה שאינה מאפשרת חישוב פשוט, באמצעות האינטגרל הלא-מסוים, שלחישובו יש דרכים רבות (ולרוב פשוטות) יותר.

המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי קובע, שעבור פונקציות אינטגרביליות שיש להן פונקציה קדומה, האינטגרל המסוים בין שתי נקודות שווה להפרש ערכי האינטגרל הלא-המסוים שלה בנקודות אלו.

לכאורה שני מושגים אלה שונים זה מזה ובאים מעולמות שונים, אבל המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי קובע את הקשר העמוק בין שני התחומים.

ניסוח פורמלי

הוא האינטגרל המסוים של , המגדיר את השטח מתחת ל- בין נקודה קבועה לבין כלשהו. המשפט היסודי קובע כי הנגזרת של שווה ל- .
בציור קל לראות ששטח המלבן האדום שווה מצד אחד לשינוי בשטח מתחת לפונקציה (השינוי ב-) ומצד שני שווה בקירוב (הולך ומשתפר עבור ערכי קטנים) ל- . כאשר מחלקים ב- ומשאיפים אותו לאפס, מקבלים את הגדרת הנגזרת

המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי מורכב בעצם משני משפטים:

משפט

תהי פונקציה אינטגרבילית בקטע ותהי אינטגרל מסוים שלה. אזי:

  1. הפונקציה רציפה.
  2. בכל נקודה בה רציפה, גזירה ומתקיים: .
  3. אם רציפה בכל הקטע, אזי קיימת לה פונקציה קדומה בקטע, ו- היא פונקציה קדומה המקיימת בכל הקטע.

יתרה מזאת: כל פונקציה מהסוג כאשר קבוע גם היא פונקציה קדומה של , וכל הפונקציות הקדומות של הן מהסוג הזה.

משפט (נוסחת ניוטון-לייבניץ)

תהי פונקציה אינטגרבילית שיש לה פונקציה קדומה בקטע . אם נסמן אזי

נשים לב שאין חשיבות לשאלה איזו פונקציה קדומה של לוקחים, מכיוון שכל הפונקציות הקדומות של נבדלות זו מזו בקבוע, והוא מתחסר כאשר מחשבים את ההפרש בין ערכי הפונקציה הקדומה בשתי נקודות שונות.

הנוסחה היסודית של החשבון האינפיניטסימלי מאפשרת לחשב אינטגרלים מסוימים של פונקציות מסוג מסוים.

בתורת המידה מוכללת נוסחה זו למשפחה רחבה יותר של פונקציות, הפונקציות הרציפות בהחלט. ניתן להראות גם שזו משפחת הפונקציות הרחבה ביותר עבורה מתקיימת נוסחה זו. ישנן פונקציות רציפות וגזירות כמעט בכל מקום (אבל לא בכל מקום) שאינן האינטגרל של נגזרתן (ראו פונקציה סינגולרית).

הוכחה

הפונקציה F רציפה

אינטגרבילית לפי רימן ולכן היא חסומה, כלומר קיים כך שבכל נקודה מתקיים .

יהי ויהיו . נגדיר אזי לכל . מתקיים:

מקיימת את תנאי ליפשיץ קטע , ולכן היא רציפה במידה שווה.

הפונקציה f היא נגזרת של F בנקודות הרציפות שלה

תהא נקודת רציפות של . עלינו להראות כי כאשר .

על פי ההגדרה ואדיטיביות האינטגרל המסוים, אנו יודעים כי מתקיים:

כמו כן מתקיים , שכן היא קבוע, ולכן האינטגרל שלה על הקטע הוא פשוט מכפלת אורך הקטע ב- .

לכן מתקיים, על פי אי-שוויון המשולש האינטגרלי:

נזכור כי רציפה בנקודה , ולכן עבור קיים כך שלכל מתקיים .

אם אזי לכל מתקיים . לכן:

הראינו כי לכל קיים כך שלכל מתקיים , כלומר .

קיום פונקציה קדומה בקטע ונוסחת ניוטון-לייבניץ

אם רציפה בקטע אז היא בפרט אינטגרבילית בו (רציפות גוררת אינטגרביליות) ואז כפי שראינו קודם, הפונקציה מקיימת לכל נקודה שבה רציפה (במקרה זה, כל הקטע) . לכן היא פונקציה קדומה של בקטע.

על פי הגדרה:

נניח כי פונקציות קדומות של , אז , כלומר הפונקציה היא קבוע, או .

על כן

וזאת לכל פונקציה קדומה של .

בזאת הושלמה הוכחת הנוסחה היסודית.

הוכחה לנוסחת ניוטון-לייבניץ שאינה מתבססת על המשפט היסודי

תהי חלוקה כלשהי של .

אזי לפי משפט הערך הממוצע של לגראנז' מתקיים עבור  :

כעת נגדיר

נקבל

כלומר

נסכום את המשוואה האחרונה עבור ונקבל:

נשים לב כי

(שהרי זהו טור טלסקופי) ונקבל:

עבור כל חלוקה . אם כך מהגדרת האינטגרל התוצאה נובעת ישירות

הכללות

הכללה טבעית של המשפט היסודי של החדו"א לשני ממדים היא משפט גרין. בממדים גבוהים יותר קיימות הכללות מורכבות יותר, כגון משפט גאוס, משפט סטוקס ומשפט הדיפרנציאציה של לבג.

קישורים חיצוניים

גדי אלכסנדרוביץ', המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, באתר "לא מדויק", שגיאה: זמן שגוי