מודול פשוט

באלגברה ובתורת החוגים, מודול פשוט מעל חוג R הוא מודול M שאין לו תת-מודולים למעט מודול האפס ו-M עצמו. מודול האפס אינו נחשב פשוט. מן המודולים הפשוטים אפשר במקרים רבים לבנות את כל המודולים (בעלי סדרת הרכב סופית) מעל החוג.

כל מודול ארטיני מכיל תת-מודולים פשוטים. חוג המספרים השלמים, כמודול מעל עצמו, הוא דוגמה למודול שאין לו תת-מודולים פשוטים.

אפיון

כל מודול פשוט הוא ציקלי (כלומר, מודול מהצורה $\ M=Rx$), וכל מודול ציקלי איזומורפי למודול מהצורה $\ R/L$ כאשר $\ L$ אידאל שמאלי של $\ R$. המודול R/L פשוט בדיוק כאשר L אידאל שמאלי מקסימלי (ולפי הלמה של צורן נובע מכאן שלכל חוג יש מודולים פשוטים). המאפס של R/L הוא האידאל הדו-צדדי הגדול ביותר המוכל ב-L; לכן R חוג פרימיטיבי אם ורק אם יש לו אידאל שמאלי שאינו מכיל אף אידאל דו-צדדי.

דוגמאות

• המודולים של חוג המספרים השלמים הם החבורות האבליות; המודולים הפשוטים הם בדיוק החבורות הציקליות מסדר ראשוני.
• תת-המודולים הפשוטים של חוג (כמודול מעל עצמו) הם האידאלים השמאליים המינימליים שלו, אם יש כאלה.
• חוג מטריצות מעל חוג פשוט גם הוא פשוט.
• הלמה של שור קובעת כי חוג האנדומורפיזמים של מודול פשוט הוא חוג עם חילוק, כלומר כל אנדומורפיזם של מודול פשוט שונה מאפס הוא איזומורפיזם.