מטריצה סימטרית

באלגברה ליניארית, מטריצה סימטרית היא מטריצה ריבועית A, הנשמרת תחת פעולת השחלוף, כלומר, מתקיים $\ A^{t}=A$ . אם $A=[a_{ij}]_{i,j=1}^{n}$ אזי $A^{t}=[a_{ji}]_{i,j=1}^{n}$ ותנאי הסימטריות למעשה אומר $\forall 1\leq i,j\leq n:a_{ij}=a_{ji}$ .

ציר הסימטריה הוא האלכסון הראשי כך שהאיברים הנמצאים מעליו שווים לאיברים המשתקפים מתחתיו (תמונת מראה).

הצורה כללית של מטריצה סימטרית בגודל 3 על 3 היא $\left[{\begin{matrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{matrix}}\right]$ .

אוסף המטריצות הסימטריות מסדר n הוא מרחב וקטורי. בדומה לכך שכל מטריצה נורמלית מעל שדה המספרים המרוכבים ניתנת ללכסון אוניטרי, מטריצה סימטרית ממשית היא לכסינה אורתוגונלית. למטריצות סימטריות ממשיות יש ערכים עצמיים ממשיים, והן ניתנות ללכסון אורתוגונלי אפילו מעל שדה המספרים הממשיים.

מטריצה אנטי-סימטרית

מטריצה A המקיימת $\ A^{t}=-A$ היא מטריצה אנטי-סימטרית. כאשר שדה הבסיס בעל מאפיין שונה מ-2, כל האיברים באלכסון הראשי של מטריצה אנטי-סימטרית שווים לאפס. בנוסף לזה, מרחב המטריצות מתפרק לסכום ישר של מרחב המטריצות הסימטריות ומרחב המטריצות האנטי-סימטריות. כל מטריצה A היא סכום של מטריצה סימטרית: ${\frac {A+A^{t}}{2}}$ ומטריצה אנטי סימטרית: ${\frac {A-A^{t}}{2}}$ ונוסחת הממדים היא $\ n^{2}={\frac {n^{2}+n}{2}}+{\frac {n^{2}-n}{2}}$ .