מערכת מכוונת

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

מערכת מכוונת או מערכת מכוונת ישירה בקטגוריה מסוימת היא אוסף עצמים באותה קטגוריה (קבוצות, חבורות או חוגים למשל). באופן אינטואיטיבי אפשר לראות אותה כמעין עץ של עצמים מקוננים, שבו כל שני איברים נחשבים לשווים אם הם שווים בעצם כלשהו המכיל את שניהם. היא מוגדרת כאיחוד הזר של העצמים במערכת עם יחס השקילות הבא: שני איברים בעצמים A ו-B נקראים שקולים אם קיים עצם C ה"מכיל" את A ו-B שבו שני האיברים שווים. למנה של האיחוד הזר של אוסף העצמים ביחס ליחס שקילות זה קוראים "הגבול הישר" של המערכת המכוונת. מערכות מכוונות משמשות בין היתר באלגברה הומולוגית וטופולוגיה אלגברית. למשל: קוהומולוגיית צ'ך מוגדר כגבול הישר של מערכת מכוונת של עידונים של כיסויים פתוחים של מרחב טופולוגי.

הגדרה

קבוצה מכוונת (directed set) היא קבוצה שמוגדר עליה סדר חלקי $(I,\leq )$, ומקיימת: לכל שני אינדקסים i ו-j קיים אינדקס שלישי k כך ש-$i\leq k,\ j\leq k$.

מערכת מכוונת ישירה של קבוצות, חבורות או חוגים (נקרא להם עצמים) היא אוסף של עצמים $\left(X_{i}\right)_{i\in I}$ בקטגוריה המתאימה בעלת קבוצת אינדקסים שהיא קבוצה מכוונת, ביחד עם פונקציות שיכון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_{ij} : X_i \to X_j} המהוות מורפיזמים בקטגוריה המתאימה, שמקיימות את התכונות הבאות:

1. זהות עצמית: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_{ii} = \mathrm{id}_{X_i}} , שיכון של עצם בעצמו היא הזהות.
2. הרכבה טרנזיטיבית: לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i,j,k \in I} שמקיימים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i \le j \le k} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_{jk} \circ \mu_{ij} = \mu_{ik}} , כלומר: לשכן את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_i} ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_k} שקול לשכן את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_i} ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_j} ואת שיכון זה לשכן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_k} באמצעות השיכון של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_j} ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_k} .

נסתכל על איברי הקו-מכפלה הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle X=\coprod _{i\in I}X_{i}} שהיא בעצם איחוד זר של כל העצמים במערכת. כעת נגדיר יחס שקילות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sim} על שני איברים בסדרה: יהיו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_i \in X_i , x_j \in X_j} . נאמר שהם שקולים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_i \sim x_j} אם קיים k כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i \le k , \ j \le k} ומתקיים בנוסף הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_{ik}(x_i) = \mu_{jk}(x_j)} . במילים אחרות, שני איברים הם שקולים אם הם נהיים שווים "בסופו של דבר" (כלומר: בתוך עצם גדול יותר).

הגבול הישר (direct limit או injective limit) ‏הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{\longrightarrow}X_i} של מערכת מכוונת ישירה בקטגוריה מסוימת היא עצם באותה קטגוריה המורכב מעצם המנה של האיחוד הזר של כל העצמים במערכת ביחס ליחס השקילות שהוגדר לעיל. בנוסחה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{\longrightarrow}X_i = \left( \coprod_{i \in I} X_i \right) / \sim} .

דוגמאות

• הוכחת קיומו של סגור אלגברי של שדה: אחת הדרכים להוכחת קיומו של סגור אלגברי היא באמצעות בניית מערכת מכוונת של הרחבות שדות אלגבריות והגדרת שני איברים בשני שדות הרחבה כלשהם להיות שקולים אם הם שווים בהרחבת שדות כלשהי של שני השדות הללו, אזי הסגור האלגברי הוא הגבול הישר של מערכת זו.
• הנבט (stalk) של אלומה (מתמטיקה) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{F}} בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in X} הוא הגבול הישר של הזוגות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (U,\mathcal{F}(U))} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U \ni x} סביבה פתוחה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} , ביחס להומומורפיזמי הצמצום. שני חתכים $\sigma \in U$ ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau \in V} נחשבים לשקולים אם קיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in W \subset U , V} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma|_W = \tau|_W} .
• קוהומולוגיית צ'ך מוגדרת כגבול הישר של כל הקוהומולוגיות שמוגדרות על ידי כיסויים פתוחים על מרחב טופולוגי. כאן יחס הסדר הוא היותו של כיסוי פתוח אחד עידון של כיסוי פתוח אחר.
• גבולות ישרים מופיעים בתאוריה של קוהומולוגיית גלואה.

מקורות

• Gregory Berhuy, Introduction to Galois Cohomology and its Applications, The London Mathematical Society.

ראו גם

• מערכת פרויקטיבית

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מערכת מכוונת22400394