קבוצה (מתמטיקה)

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה. התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא "אוסף של עצמים", אך ישנם ענפים במתמטיקה בהם ניתנות הגדרות מדויקות יותר, כגון: תורת הקבוצות האקסיומטית.

נהוג להציג קבוצה באמצעות סוגריים מסולסלים, שבתוכם מפורטים כל איברי הקבוצה (למשל {כלב, חתול, צרצר} ), או מופיע כלל לפיו נוצרים כל איברי הקבוצה (למשל $x:x\}$ אזרח סין$\{$). לעתים מוצגת הקבוצה באמצעות רשימה של חלק מאיבריה שבסופם '...' (שלוש נקודות), מתוך הנחה שהקורא יסיק מהחלק הנתון את יתר איברי הקבוצה.

עצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה. בין האיברים לא חייב להיות קשר כלשהו מעבר לכך. כאשר עצם כלשהו הוא איבר בקבוצה נאמר שהוא שייך לקבוצה, על כל עצם אחר נאמר שהוא לא שייך לקבוצה זו. אפשר שגם עצם השייך לקבוצה הוא קבוצה בעצמו.

הגדרה

בתיאור נאיבי קבוצה היא אוסף של עצמים. כל עצם בעולם, או שהוא שייך לקבוצה (ואז הוא נקרא איבר של הקבוצה) או שאינו שייך לה. לא ניתן להיות איבר של קבוצה יותר מפעם אחת ($\{1,1\}$ ו-$\{1\}$ הם סימונים שונים לאותה הקבוצה, הקבוצה שאיברה היחיד הוא המספר 1). שתי קבוצות הן שוות כאשר יש להן בדיוק אותם האיברים.

כאשר רוצים לבסס את תורת הקבוצות באופן ריגורוזי נחוצה הגדרה קשוחה יותר שאינה מסתמכת על תאורים עמומים. ההגדרה המקובלת ביותר לקבוצה היא באמצעות אקסיומות ZF הכתובות בשפה מסדר ראשון. האקסיומות מגדירות יקום שלאיבריו אנו קוראים קבוצות ומוגדר עליהן יחס של שייכות. ביקום יש רק קבוצות ולכן איבריה של קבוצה הם תמיד קבוצות בעצמם. האקסיומות מטילות מספר מגבלות על מה ראוי להיקרא קבוצה (למשל קבוצה לא יכולה להיות שייכת לעצמה) כדי למנוע סתירות דוגמת הפרדוקס של ראסל.

כמעט כל עצם במתמטיקה ניתן להגדיר כקבוצה, ולכן ניתן לומר שהיקום שנוצר על ידי אקסיומות ZF הוא זירת המשחקים לכמעט כל המתמטיקה.

דוגמות לקבוצות

דוגמה לקבוצה של אנשים

• $\}$כלב, חתול, צרצר$\{$ : זוהי קבוצה סופית בעלת שלושה איברים.
• $\}$א, ב, ג, ..., ר, ש, ת$\{$ : בקבוצה זו 27 איברים, שהם כל אותיות האלף-בית העברי (כולל אותיות סופיות) ואולי רק 22 איברים – אותיות האלבבית העברי ללא אותיות סופיות (זו, אם כן, הצגה עמומה במקצת).
• $\}$כלב, ג, ירושלים, אברהם$\{$ : זו קבוצה בת ארבעה איברים.
• $\{2,4,6,\ldots \}$ : זו קבוצה אינסופית, הכוללת את כל המספרים הזוגיים החיוביים.
• $\}$כל המספרים השלמים המתחלקים ב-3 ללא שארית$\{$ : גם זו קבוצה אינסופית.
• $x:x\}$ אזרח סין$\{$ (קריאה: קבוצת כל ה-$x$-ים המקיימים: $x$ הוא אזרח סין): זו קבוצה סופית, שהרי יש מספר סופי של אזרחים בסין גם אם מספרם גדול מאוד והם אינם ידועים לנו במלואם.
• ${\bigl \{}(x,y):y=x^{2}:-1\leq x\leq 1{\bigr \}}$ בדוגמה זו הכלל, לפיו נקבעים איברי הקבוצה, נכתב בנוסחה. זו קבוצת כל הנקודות $(x,y)$ המקיימות את המשוואה $y=x^{2}$ לגבי $x$ שבקטע $[-1,1]$ (קבוצה אינסופית זו היא פרבולה).
• $\}$קבוצת כל הקבוצות המכילות רק את המספרים 1, 2, 3 (כולם או חלקם)$\{$ : זו קבוצה שאיבריה הם קבוצות.
• ${\bigl \{}\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}{\bigr \}}$ : זו הצגה מפורשת של הקבוצה הקודמת, שבה 8 איברים. משמעות הסימון $\varnothing$ הוא "הקבוצה הריקה", קבוצה שלא מכילה אף איבר ומוכלת בכל הקבוצות האחרות, לכן מוכלת גם בקבוצת שלושת באיברים שלנו $\{1,2,3\}$ .

דוגמה נוספת

• $\}$אדום, צהוב, כחול$\{$
• $\}$אדום, אדום, כחול, צהוב, כחול, כחול, אדום, כחול$\{$
• $x:x\}$ הוא צבע יסוד$\{$

כל שלוש הקבוצות הללו זהות, למרות שהן נוצרו באמצעות הגדרות שונות: ציון כל אברי הקבוצה (הכי יעיל במקרה של קבוצות בעלות מספר קטן של איברים); או על ידי ציון כל אברי הקבוצה, גם אם הם מופיעים יותר מפעם אחת (סדר ההופעה ומספר המופעים אינו חשוב ואינו משפיע על הגדרת הקבוצה); או על ידי הגדרה חד־ערכית של אברי הקבוצה (יעיל במקרה של מספר רב של איברים), שניתן להגדיר עבורם חוק או הגדרה.

סימונים והגדרות

סימנים והגדרות

• הקבוצה הריקה: זו קבוצה שאין בה איברים, והיא מסומנת בסימן $\varnothing$ (שמקורו באות הנורווגית Ø) או באמצעות סוגריים מסולסלים ריקים $\{\}$ .
• שייכות לקבוצה מסמנים בסימון $\in$ . כאשר איבר $x$ שייך לקבוצה $A$ , נסמן זאת בצורה $x\in A$ . אם אינו שייך נסמן זאת $x\notin A$ .
• קבוצה $A$ מכילה או שווה לקבוצה $B$ (או קבוצה $B$ חלקית ל-$A$ , או $B$ תת-קבוצה של $A$) אם כל איבר של $B$ שייך גם ל-$A$ .

נסמן זאת $B\subseteq A$ . אם כל איבר של $B$ שייך גם ל-$A$ אך ב-$A$ נמצאים איברים נוספים, נאמר כי $B$ חלקית ממש ל-$A$ ונסמן זאת $B\subset A$ .

כדי לסמן שקבוצה אינה חלקית לקבוצה אחרת (כלומר, היא מכילה איברים שאינם נמצאים בקבוצה השנייה) נכתוב $A\nsubseteq B$ .

• שתי קבוצות $A,B$ נקראות קבוצות זהות או שוות אם כל איברי $A$ נמצאים ב-$B$ וגם כל איברי $B$ נמצאים ב-$A$ . נסמן שוויון באמצעות $A=B$ .

דרך נוספת להראות שוויון בין קבוצות היא להראות שכל אחת מהן חלקית לשנייה. כלומר $B\subseteq A$ וגם $A\subseteq B$ .

• גודל של קבוצה נקרא עוצמה. העוצמה מוגדרת באמצעות מספר האיברים הייחודיים בקבוצה ומסומנת באמצעות סימן ערך מוחלט.

למשל, עוצמתה של הקבוצה הסופית $\}$אדום, צהוב, ירוק$\{$ היא 3 ומסומנת $\}{\bigr |}=3$אדום, צהוב, ירוק${\bigl |}\{$ .

עוצמתה של הקבוצה הריקה היא 0 ומסומנת $|\varnothing |=0$ . עוצמתה של קבוצה אינסופית היא סוגיה מרכזית בתורת הקבוצות.

הפרדוקס של ראסל הבהיר שההגדרה האינטואיטיבית של קבוצה, איתה התחלנו ערך זה, מובילה לסתירה פנימית (אנטינומיה). בעקבות זאת ניתן לתורת הקבוצות, שהיא ענף המתמטיקה העוסק בחקר הקבוצות, ביסוס אקסיומטי, לשם היחלצות מסתירה זו.

• קבוצת החזקה של קבוצה $A$ היא הקבוצה שאבריה הם תת-הקבוצות של $A$ , ומסמנים אותה ${\mathcal {P}}(A)$ .

איחוד וחיתוך של קבוצות

החיתוך של אוסף של קבוצות הוא קבוצה שמורכבת מהאיברים ששייכים לכל הקבוצות הנחתכות. החיתוך של שתי קבוצות $A,B$ מסומן $A\cap B$ . חיתוך של משפחה ${\mathcal {A}}=\{A_{i}:i\in \Lambda \}$ מסומן $\bigcap _{i\in \Lambda }A_{i}$ , ולפעמים בקיצור $\bigcap {\mathcal {A}}$ .

האיחוד של אוסף של קבוצות הוא קבוצה שמורכבת מהאיברים ששייכים ללפחות אחת מבין הקבוצות המאוחדות. האיחוד מסומן בדומה לחיתוך, פרט לזה שאת הסימנים $\cap ,\bigcap$ מחליפים $\cup ,\bigcup$ .

הפרש של שתי קבוצות $A,B$ הוא קבוצת האברים של $A$ שאינם שייכים ל-$B$ , ומסמנים אותו $A\setminus B$ או $A-B$ . ההפרש מאפשר להגדיר גם את ההפרש הסימטרי.

ראו גם

• תורת הקבוצות - מונחים