קבוצה (מתמטיקה)

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה. בגישה הנאיבית לתורת הקבוצות, קבוצה היא אוסף כלשהו של איברים (ללא חשיבות לסדר). בתורת הקבוצות האקסיומטית מושג הקבוצה אינו מוגדר, ותכונותיו מתקבלות מרשימת האקסיומות.

נהוג להציג קבוצה באמצעות סוגריים מסולסלים, שבתוכם מפורטים כל איברי הקבוצה (למשל {כלב, חתול, צרצר} ), או מופיע כלל לפיו נוצרים כל איברי הקבוצה (למשל {x :x אזרח סין} ). לעיתים מוצגת הקבוצה באמצעות רשימה של חלק מאיבריה שבסופם '...' (שלוש נקודות), מתוך הנחה שהקורא יסיק מהחלק הנתון את יתר איברי הקבוצה.

עצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה. בין האיברים לא חייב להיות קשר כלשהו מעבר לכך. כאשר עצם כלשהו הוא איבר בקבוצה נאמר שהוא שייך לקבוצה, על כל עצם אחר נאמר שהוא לא שייך לקבוצה זו. אפשר שגם עצם השייך לקבוצה הוא קבוצה בעצמו.

הגדרה

בתיאור נאיבי קבוצה היא אוסף של עצמים. כל עצם בעולם, או שהוא שייך לקבוצה (ואז הוא נקרא איבר של הקבוצה) או שאינו שייך לה. לא ניתן להיות איבר של קבוצה יותר מפעם אחת. שתי קבוצות הן שוות כאשר יש להן בדיוק אותם האיברים.

כאשר רוצים לבסס את תורת הקבוצות באופן ריגורוזי נחוצה הגדרה קשוחה יותר שאינה מסתמכת על תאורים עמומים. ההגדרה המקובלת ביותר לקבוצה היא באמצעות אקסיומות ZF הכתובות בשפה מסדר ראשון. האקסיומות מגדירות יקום שלאיבריו אנו קוראים קבוצות ומוגדר עליהן יחס של שייכות. ביקום יש רק קבוצות ולכן איבריה של קבוצה הם תמיד קבוצות בעצמם. האקסיומות מטילות מספר מגבלות על מה ראוי להיקרא קבוצה (למשל קבוצה לא יכולה להיות שייכת לעצמה) כדי למנוע סתירות דוגמת הפרדוקס של ראסל.

כמעט כל עצם במתמטיקה ניתן להגדיר כקבוצה, ולכן ניתן לומר שהיקום שנוצר על ידי אקסיומות ZF הוא זירת המשחקים לכמעט כל המתמטיקה.

דוגמאות לקבוצות

דוגמה לקבוצה של אנשים

• {כלב, חתול, צרצר}: זוהי קבוצה סופית בעלת שלושה איברים.
• {א, ב, ג, ... ש, ת}: בקבוצה זו 27 איברים, שהם כל אותיות האלף-בית העברי (כולל אותיות סופיות) ואולי רק 22 איברים - אותיות האלף-בית העברי ללא אותיות סופיות (זו, אם כן, הצגה עמומה במקצת).
• {כלב, ג, ירושלים, אברהם}: זו קבוצה בת ארבעה איברים.
• {8,6,4,2, ...}: זו קבוצה אינסופית, הכוללת את כל המספרים הזוגיים החיוביים.
• {כל המספרים השלמים שמתחלקים בשלוש ללא שארית}: גם זו קבוצה אינסופית.
• {x :x אזרח סין} (קריאה: קבוצת כל ה-x-ים שמקיימים: x הוא אזרח סין): זו קבוצה סופית, שהרי יש מספר סופי של אזרחים בסין גם אם מספרם גדול מאוד והם אינם ידועים לנו במלואם.
• $\ \{(x,y):y=x^{2};-1\leq x\leq 1\}$ בדוגמה זו הכלל, לפיו נקבעים איברי הקבוצה, נכתב בנוסחה. זו קבוצת כל הנקודות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x,y)} שמקיימות את המשוואה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y = x^2} לגבי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x} שבקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [-1,1]} (קבוצה אינסופית זו היא פרבולה).
• {קבוצת כל הקבוצות המכילות רק את המספרים 1, 2, 3 (כולם או חלקם)}: זו קבוצה שאיבריה הם קבוצות.
• {Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} }: זו הצגה מפורשת של הקבוצה הקודמת, שבה 8 איברים. משמעות הסימון Ø הוא "הקבוצה הריקה", קבוצה שלא מכילה אף איבר ומוכלת בכל הקבוצות האחרות, לכן מוכלת גם בקבוצת שלושת באיברים שלנו {1,2,3}.
• גם {1} וגם {1,1,1} מסמנים את אותה קבוצה, שאברה היחיד הוא המספר 1; זאת משום שאי אפשר להשתייך לקבוצה יותר מפעם אחת.

דוגמה נוספת

• {אדום, צהוב, כחול}
• {אדום, אדום, כחול, צהוב, כחול, כחול, אדום, כחול}
• {X :X הוא צבע יסוד}

כל שלוש הקבוצות הללו זהות, אף על פי שהן נוצרו באמצעות הגדרות שונות: ציון כל איברי הקבוצה (הכי יעיל במקרה של קבוצות בעלות מספר קטן של איברים); או על ידי ציון כל אברי הקבוצה, גם אם הם מופיעים יותר מפעם אחת (סדר ההופעה ומספר המופעים אינו חשוב ואינו משפיע על הגדרת הקבוצה); או על ידי הגדרה חד ערכית של אברי הקבוצה (יעיל במקרה של מספר רב של איברים), שניתן להגדיר עבורם חוק או הגדרה.

סימונים והגדרות

סימנים והגדרות

• הקבוצה הריקה: זו קבוצה שאין בה איברים, והיא מסומנת בסימן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \emptyset} (שמקורו באות הנורווגית "Ø" ) או באמצעות סוגריים מסולסלים ריקים {}.
• שייכות לקבוצה מסמנים בסימון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \in} . כאשר איבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x} שייך לקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A} , נסמן זאת בצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in A} . אם אינו שייך נסמן זאת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\not\in A} .
• קבוצה A מכילה או שווה לקבוצה B (או קבוצה B חלקית ל-A, או B היא תת קבוצה של A) אם כל איבר של B שייך גם ל-A. נסמן זאת בצורה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B\subseteq A} . אם כל איבר של B שייך גם ל-A אך ב-A נמצאים איברים נוספים נאמר ש B חלקית ממש ל-A ונסמן זאת בצורה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B\subset A} . כדי לסמן שקבוצה אינה חלקית לקבוצה אחרת (כלומר, היא מכילה איברים שאינם נמצאים בקבוצה השנייה) נכתוב $A\nsubseteq B$.
• שתי קבוצות A ו-B נקראות קבוצות זהות או שוות אם כל איברי A נמצאים ב-B וגם כל איברי B נמצאים ב-A. נסמן שוויון באמצעות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A = B} . דרך נוספת להראות שוויון בין קבוצות היא להראות שכל אחת מהן חלקית לשנייה. כלומר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B\subseteq A} וגם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\subseteq B} .
• גודל של קבוצה נקרא עוצמה. העוצמה מוגדרת באמצעות מספר האיברים הייחודיים בקבוצה ומסומנת באמצעות הסימן |. לדוגמה, עוצמתה של הקבוצה הסופית {אדום, צהוב, ירוק} היא 3 ומסומנת |{אדום, צהוב, ירוק}|=3. עוצמתה של הקבוצה הריקה היא 0 ומסומנת |∅|=0. עוצמתה של קבוצה אינסופית היא סוגיה מרכזית בתורת הקבוצות.

הפרדוקס של ראסל הבהיר שההגדרה האינטואיטיבית של קבוצה, איתה התחלנו ערך זה, מובילה לסתירה פנימית (אנטינומיה). בעקבות זאת ניתן לתורת הקבוצות, שהיא ענף המתמטיקה העוסק בחקר הקבוצות, ביסוס אקסיומטי, לשם היחלצות מסתירה זו.

• קבוצת החזקה של קבוצה A היא הקבוצה שאבריה הם תת-הקבוצות של A, ומסמנים אותה ב- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{P}(A)} .

איחוד וחיתוך של קבוצות

החיתוך של אוסף של קבוצות הוא קבוצה שמורכבת מהאיברים ששייכים לכל הקבוצות הנחתכות. החיתוך של שתי קבוצות A,B מסומן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A \cap B} . חיתוך של משפחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathcal{A} = \{A_i \mid i \in \Lambda\}} מסומן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \bigcap_{i \in \Lambda} A_i } . ולפעמים בקיצור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \bigcap \mathcal{A}} .

האיחוד של אוסף של קבוצות הוא קבוצה שמורכבת מהאיברים ששייכים ללפחות אחת מבין הקבוצות המאוחדות. האיחוד מסומן בדומה לחיתוך, פרט לזה שאת הסימנים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \cap, \bigcap } מחליפים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \cup, \bigcup } .

הפרש של שתי קבוצות A,B הוא קבוצת האיברים של A שאינם שייכים ל-B, ומסמנים אותו ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A \setminus B} או $\ A-B$. ההפרש מאפשר להגדיר גם את ההפרש הסימטרי.

ראו גם

• מונחים בתורת הקבוצות

קישורים חיצוניים

• קבוצה, באתר MathWorld (באנגלית)