משוואות הטלגרף

משוואות הטלגרף (באנגלית: Telegrapher's equations) הן צמד משוואות דיפרנציאליות חלקיות ליניאריות ומצומדות שמתארות את המתח והזרם החשמלי על קו תמסורת חשמלי כפונקציה של המרחק והזמן. המשוואות תוארו על ידי אוליבר הביסייד שפיתח את מודל קו התמסורת במאמר מ-1876. המודל מדגים כיצד גלים אלקטרומגנטיים עשויים להיות מוחזרים על הקו, ושתבניות דמויות גלים נוסעים יכולות להיווצר לאורך הקו.

התאוריה של משוואות הטלגרף תקפה לרוב התדירויות החל מזרם ישר (שלו תדירות אפס) ועד לגלי רדיו בתדר גבוה.

רכיבים מפולגים

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

הצגה סכמטית של הרכיבים הבסיסיים של קו תמסורת.

משוואות הטלגרף, כמו כל המשוואות האחרות המתארות תופעותִ חשמליות, נובעות ממשוואות מקסוול. בגישה יותר מעשית, ניתן להניח שמערך שני המוליכים (הכבל הפנימי והכבל החיצוני; ראו גם כבל קואקסיאלי) מורכב משרשרת אינסופית של רכיבים חשמליים בעלי שתי מסופים (ראו איור), כשכל מקטע בשרשרת מייצג קטע אינפיניטסימלי של קו התמסורת:

• ההתנגדות החשמלית המפולגת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} של המוליכים (התנגדות ליחידת אורך) מיוצגת כנגד. במוליכים מעשיים, בתדרים גבוהים יותר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} גדל בקירוב ביחס ישר לשורש הריבועי של התדירות אודות לאפקט העור.
• ההשראות המפולגת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} (אודות לשדה המגנטי סביב התילים, השראות עצמית וכו') מיוצגת כמשרן המחובר בטור לנגד, ונמדדת ביחידות של השראות ליחידת אורך.
• הקיבול החשמלי המפולג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} בין שני המוליכים מיוצג כקבל ה"מגשר" בין התיל המוליך הפנימי לחיצוני (מיוצג באיור כ-C ונמדד ביחידות של קיבול ליחידת אורך).
• המוליכות החשמלית המפולגת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} של התווך הדיאלקטרי המפריד בין שני המוליכים מיוצג כנגד המאפשר "זרם זליגה" בין המוליך הפנימי לחיצוני (מיוצג באיור כ-G). לנגד זה במודל יש התנגדות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1/G} . הגודל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} כולל בתוכו הן את השפעת ההתנגדות החשמלית של התווך הדיאלקטרי והן את אובדן האנרגיה עקב האפקט של חימום דיאלקטרי. אם הדיאלקטרן הוא ואקום אידיאלי, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G \equiv 0} .

מודל הטלגרף מורכב מסדרה אינסופית של האלמנטים האינפיניטסימליים המוראים באיור. כל אחד מהגדלים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} , $C$, ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} מכונים "קבועי קו ראשוניים" כדי להבדיל בינם ל"קבועי הקו המשניים" הנגזרים מהם כגון העכבה האופיינית, קבוע ההתפשטות, קבוע ההנחתה וקבוע הפאזה. כל אחד מהגדלים הללו קבוע ביחס לזמן, המתח והזרם. עם זאת, הם אינם פונקציות קבועות של התדירות.

תפקיד כל אחד מהרכיבים

תרשים סכמטי המראה גל המתקדם ימינה על קו תמסורת חסר איבודים. הנקודות השחורות מייצגות אלקטרונים, והחצים את השדה החשמלי בין המוליכים (המתח החשמלי).

התפקידים של כל אחד מהרכיבים ניתנים לדימוי ויזואלי דרך האנימציה משמאל:

• ההשראות L: בדומה לכל מעגל חשמלי המכיל משרנים, ההשראות גורמת לזרם להיראות כאילו יש לו אינרציה - כלומר כאשר ישנה השראות גדולה, קשה להגדיל או להפחית את הזרם החשמלי בנקודה נתונה. השראות גדולה גורמת לגל הנוסע להתקדם לאט יותר, בדיוק כשם שגלים נעים לאט יותר על חבל כבד מאשר על מיתר קליל.
• הקיבול C: הקיבול החשמלי מכתיב כמה האלקטרונים שנערמים באזור מסוים בכל מוליך דוחים או מושכים את האלקטרונים במוליך השני. שפת המוליך הפנימי נחשבת ללוח אחד של הקבל בעוד ששפת המוליך החיצוני נחשבת ללוח השני של הקבל; טעינה של לוח אחד של הקבל חייבת להיות מלוות בטעינה במטען משטחי הפוך של לוח הקבל השני. כאשר הקיבול גדול יותר ההשפעה של המוליך הפנימי על החיצוני קטנה יותר (המתח החשמלי הנוצר נמוך יותר). כמו בכל מעגל חשמלי המכיל קבל, הקבל משמש כרכיב שאוגר אנרגיה חשמלית ומייצר כוח מחזיר (הקבל משול לקפיץ באנלוגיה האלקטרומכנית), כך שקיבול גבוה יותר משמעותו כוח מחזיר חלש יותר בקו הטלגרף, מה שגורם לגל בקו להתקדם לאט יותר.
• ההתנגדות R: ההתנגדות שווה לסכום ההתנגדויות ליחידת אורך של המוליך הפנימי והחיצוני. התנגדות זאת שוחקת את האנרגיה של הגל (האנרגיה שנאבדת הופכת לחום), ותפקידה במשוואות הטלגרף הוא להוריד את המתח החשמלי (היא מופיעה במשוואת הטלגרף המכתיבה את הנגזרת המרחבית של המתח). באופן כללי, התנגדות הקו מאוד נמוכה בהשוואה להיגב ההשראותי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega L} בתדירויות רדיו, כך שלעיתים מניחים לשם פשטות שהיא שווה לאפס.
• המוליכות G: המוליכות בין הקווים מייצגת את המידה בה מטען חשמלי מסוגל "לזלוג" מהמוליך הפנימי לחיצוני, כאשר מוליכות גבוהה יותר שוחקת יותר זרם לחום בתווך שמשמש כבידוד בין שני המוליכים. לרוב, הבידוד בין התילים הוא טוב למדי, כך שהמוליכות היא זניחה בהשוואה להיגב הקיבולי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega C} , ולשם פשטות מניחים שהיא אפס. עם זאת, מרבית החומרים שמתפקדים כמבודדים טובים בתדירויות נמוכות מאפשרים לעיתים קרובות מאוד זליגה רבה בתדירויות גבוהות.

משוואות הטלגרף

פיתוח המשוואות עושה שימוש בחוקי קירכהוף כדי לבטא את השינוי המרחבי במתח ובזרם. מחוק המתחים של קירכהוף ניתן להביע את הנגזרת של המתח לפי המרחק:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}V(x,t) = -L\frac{\partial}{\partial t}I(x,t)-RI(x,t)}

זוהי משוואת הטלגרף הראשונה. מחוק הזרמים של קירכהוף ניתן להביע את הנגזרת של הזרם לפי המרחק:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}I(x,t) = -C\frac{\partial}{\partial t}V(x,t)-GV(x,t)}

וזוהי משוואת הטלגרף השנייה. ניתן לשלב את שתי המשוואות הדיפרנציאליות החלקיות המצומדות הללו לשתי משוואות דיפרנציאליות חלקיות במשתנה יחיד כל אחת (V או I):

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \frac{~\ \partial^2}{\partial x^2}\ V(x,t) - LC\ \frac{~\ \partial^2}{\ \partial t^2}\ V(x,t) &= ( RC + GL )\ \frac{\ \partial}{\partial t}\ V(x,t) + GR\ V(x,t) \\[6pt] \frac{~\ \partial^2}{\partial x^2}\ I(x,t) - LC\ \frac{~\ \partial^2}{\partial t^2}\ I(x,t) &= (RC + GL)\ \frac{\ \partial}{\partial t}\ I(x,t) + GR\ I(x,t) \end{align}}

תמסורת ללא הנחתה

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ~ \omega L \gg R ~} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ~ \omega C \gg G ~,} אז התנגדות התיל ומוליכות התווך המבודד ניתנות להזנחה, וקו התמסורת הופך למוליך גלים אידיאלי. במקרה זה, המודל תלוי רק בקבועים C ו-L. משוואות הטלגרף יתארו במקרה זה את הקשר בין הזרם I והפרש הפוטנציאלים V (המתח) בין שני המוליכים בכל נקודה על קו התמסורת, כשכל אחד ממשתנים אלו הוא פונקציה של המקום x והזמן t:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V = V(x,t) }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I = I(x,t) }

המשוואות בעבור קווי תמסורת חסרי הנחתה

משוואות הטלגרף הן צמד משוואות דיפרנציאליות חלקיות מצומדות, מסדר ראשון. במקרה זה, המשוואה הראשונה מראה שהמתח המושרה קשור לקצב השינוי לפי הזמן של הזרם, בעוד השנייה מראה, באופן דומה, שהזרם שנושא התיל קשור לקצב השינוי הזמני של המתח:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial V}{\; \partial x \;} = -L \frac{\partial I}{\; \partial t \;} }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial I}{\; \partial x \;} = -C \frac{\partial V}{\; \partial t \;} }

אפשר לשלב את המשוואות הללו לשתי משוואות גלים מדויקות, אחת בעבור המתח והשנייה בעבור הזרם:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ~ \frac{\partial^2 V}{{\partial t}^2} - u^2 \frac{\partial^2 V}{{\partial x}^2} = 0 ~ }

$~{\frac {\partial ^{2}I}{{\partial t}^{2}}}-u^{2}{\frac {\partial ^{2}I}{{\partial x}^{2}}}=0~$

כאשר

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ~ u = \frac{1}{\; \sqrt{LC\;} \;} ~}

היא מהירות הגל שמתקדם דרך קו התמסורת. אף על פי שנראה שהקבועים L ו-C תלויים בגיאומטריה הספציפית של קו התמסורת, בעבור קווי תמסורת עם מוליכים מושלמים וואקום אידיאלי ביניהם, מהירות זאת תמיד שווה למהירות האור. למשל, עבור כבל קואקסיאלי הקיבול ליחידת אורך C הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C = {2 \pi \epsilon_0 \epsilon_r \over \ln(D/d)} } וההשראות ליחידת אורך L היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L = {\mu_0 \mu_r \over 2 \pi} \ln(D/d)} , כאשר d ו-D הם קוטר המוליך הפנימי והחיצוני, בהתאמה. ניתן לראות שעבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon_r = 1, \mu_r=1 } (חומר מבודד לא דיאלקטרי ולא מגנטי), מהירות התקדמות הגלים בקו התמסורת תהיה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ~ u = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}} ~}

וזוהי מהירות האור בריק.

מצב סינוסואידלי יציב

במקרה של מצב סינוסואידלי תמידי (כאשר מופעל מתח חילופין סינוסואידלי חיצוני בין המוליכים), אז המתח והזרם מקבלים צורה של גלי סינוס באורך גל יחיד:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V(x,t) ~ = ~ \mathcal{Re} \; \Bigl\{ \; V(x) \cdot e^{ j \omega t } \; \Bigr\} ~ }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I(x,t) ~ = ~ \mathcal{Re} \; \Bigl\{ \; I(x) \cdot e^{ j \omega t } \; \Bigr\}~, }

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} היא התדירות הזוויתית של גל הסינוס היציב. במקרה זה, משוואות הטלגרף הופכות ל-:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{ \mathrm{d} V }{\; \mathrm{d} x \;} = -j \omega L I = -L \frac{ \mathrm{d} I }{\; \mathrm{d} t \;} }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\; \mathrm{d} I \;}{ \mathrm{d} x } = -j \omega C V = -C \frac{ \mathrm{d} V }{\; \mathrm{d} t \;} }

ובאופן דומה, משוואות הגלים יהפכו ל-:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\; \mathrm{d}^2 V \;}{\mathrm{d} x^2}+ k^2 V = 0 ~}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\;\mathrm{d}^2 I\;}{\mathrm{d} x^2} + k^2 I = 0 ~}

כאשר k הוא מספר הגל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ~ k = \omega \sqrt{ LC \;} = { \omega \over u } ~. }

כל אחת מהמשוואות הללו מקבלת את הצורה של משוואת הלמהולץ חד-ממדית.

בעבור קו תמסורת ללא הנחתה, ניתן להראות ש-:

$V(x)=V_{1}e^{-jkx}+V_{2}e^{+jkx}$

ו-

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I(x) = { V_1 \over Z_0 }\, e^{ - j k x } - { V_2 \over Z_0 }\,e^{ + j k x } }

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ~ k ~} מקבל ערך ממשי ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ~ Z_0 ~} היא "העכבה האופיינית" של קו התמסורת, אשר בעבור מקרה זה נתונה בביטוי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ~ Z_0 = \sqrt { {L \over C} \; } ~}

ואילו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ~ V_1 ~} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ~V_2~} הם קבועי אינטגרציה שרירותיים, אשר נקבעים על ידי שני תנאי השפה (אחד בעבור כל קצה של קו התמסורת).

הפתרון הכללי בעבור תמסורת ללא הנחתה

במקרה זה של תמסורת ללא הנחתה (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ~ R = G = 0 ~} ), הפתרון הכללי ביותר למשוואת הגלים למתח הוא סכום של גל הנוסע קדימה וגל הנוסע אחורה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ~ V(x,t) \, = \, f_1(x - u\,t) + f_2(x + u\,t) ~}

כאשר

• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,f_1\,} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,f_2\,} יכולות להיות כל שתי פונקציות אנליטיות, ו-
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,u = 1/\sqrt{LC\,}\,} היא מהירות המופע של התקדמות הגל.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,f_1\,} מייצגת את פרופיל הגל הנוסע משמאל לימין בכיוון החיובי של ציר x, בעוד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,f_2\,} מייצגת את פרופיל הגל הנוסע מימין לשמאל בכיוון השלילי של ציר x. המתח הרגעי בכל נקודה על הקו היא סכום המתחים אודות לשני הגלים.

תמסורת עם הנחתה

בנוכחות איבודי אנרגיה הפתרון של משוואות הטלגרף מראה גם דעיכה (הנחתה) וגם נפיצה, כפי שמומחש באנימציה כשמשווים בין האות הכתום (התואם לפתרון ללא איבודי אנרגיה) והאות השחור (התואם לפתרון עם איבודי אנרגיה).

כאשר הרכיבים המרסנים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ~ R ~} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ~ G ~} משמעותיים מדי מכדי להזניחם, המשוואות הדיפרנציאליות שמתארות מקטע קו הן

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \frac{\partial}{\;\partial x\;} V(x,t) &~=~ -L\,\frac{\partial}{\;\partial t\;} I(x,t) - R\,I(x,t) ~,\\[6pt] \frac{\partial}{\;\partial x\;} I(x,t) &~=~ -C\,\frac{\partial}{\;\partial t\;} V(x,t) - G\,V(x,t) ~. \end{align}}

באמצעות גזירה של שתי המשוואות ביחס ל-x ומעט אלגברה, מקבלים צמד משוואות דיפרנציאליות חלקיות היפרבוליות בכל אחד מהנעלמים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \frac{\partial^2}{\, {\partial x}^2 \,} V &~=~ L\,C\,\frac{\partial^2}{\, {\partial t}^2 \,} V + \left(\, R \, C + G \, L \,\right) \, \frac{\partial}{\, \partial t \,} V + G \, R \, V ~,\\[6pt] \frac{ \partial^2 }{\,{\partial x}^2\,} I &~=~ L \, C \, \frac{\partial^2}{\, {\partial t}^2 \,} I + \left(\, R \, C + G \, L \,\right) \, \frac{ \partial }{\, \partial t \,} I + G \, R \,I ~.\\ \end{align}}

אלו הן משוואות גלים מוכללות עם איברים נוספים התלויים בפונקציות הנעלמות ונגזרותיהן הראשונות. האיברים הנוספים גורמים לאות לדעוך ולהתרחב עם הזמן והמרחק. אם ההנחתה בקו קטנה יחסית (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ~ R \ll \omega L ~} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ~ G \ll \omega C ~} ) אז חוזק האות ידעך לפי המרחק לפי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ~ e^{-\alpha\,x}~} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ~ \alpha ~\approx~ \frac{R}{\,2\,Z_0\,} + \frac{\,G\,Z_0\,}{2} ~} , כש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}}} .

חישוב קבוע ההנחתה והעכבה האופיינית של קו תמסורת

קבוע ההנחתה

ניתן להגיע לקירובים אלו באמצעות חישוב העכבה האופיינית (המרוכבת) של מקטע בקו, ממנה ניתן להסיק את הערך המרוכב של מספר הגל k. קבוע ההנחתה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} יהיה שווה לחלק המדומה של k. התוצאה עבור מספר הגל היא:

$k=\pm {\sqrt {(-\omega L+Rj)(-\omega C+Gj)}}$

בגבול שבו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ~ R \ll \omega L ~} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ~ G \ll \omega C ~} הנוסחה לעיל לקבוע ההנחתה נובעת מתוך הצורה של k דרך הקירוב הבינומי לשורשים ריבועיים (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2} } כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\ll 1} ), המאפשר לחשב את החלק המדומה של k.

העכבה האופיינית

ייצוג מקטע מקו תמסורת.

את העכבה האופיינית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z} לקו תמסורת ניתן לחשב בעזרת הטיעון הבא. היות והעכבה האופיינית מוגדרת כיחס שבין מתח הקלט המופעל לבין הזרם החשמלי בעבור קו טלגרף חצי אינסופי, אז כתוצאה מאינסופיות הקו העכבה בין שתי המסופים הימניים (מיוצגים באיור כ-"Port B") צריכה להיות שווה לעכבה בין שתי המסופים השמאליים (מיוצגים באיור כ-"Port A"), וכל אחת מהן צריכה להיות שווה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z} . לפיכך ניתן לתאר את המעגל החשמלי כולו בדומה לאיור לעיל מן הפסקה "רכיבים מפולגים", אלא שמוסיפים רכיב שהעכבה שלו היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z} במקביל לשני הרכיבים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Cdx} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Gdx} , כך ששלושת הרכיבים הללו מחוברים במקביל, ושלושתם ביחד מחוברים בטור לרכיבים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Rdx} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Ldx} . לפיכך העכבה השקולה של המעגל כולו היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z = (R + j \omega L)dx + \frac{1}{(G + j \omega C)dx + \frac{1}{Z}} }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z = (R + j \omega L)dx + \frac{Z}{Z(G + j \omega C)dx + 1} }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z + Z^2(G + j \omega C)x = (R + j \omega L)dx + Z(G + j \omega C)dx(R + j \omega L)dx + Z}

מכאן נקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z^2(G + j \omega C)dx = (R + j \omega L)dx + Z(G + j \omega C)\ (R + j \omega L)(dx)^2 }

האיבר השני באגף ימין הוא אינפיניטסימל מסדר שני ולפיכך הוא נופל לאחר חילוק ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dx} . לפיכך נקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z = \pm \sqrt{\frac{\ R + j\omega L\ }{G + j\omega C}} }

ראו גם

• קו תמסורת

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משוואות הטלגרף35163270Q1156880