משוואת ריילי-פלסט

משוואת ריילי-פלסט מיושמת לעיתים קרובות למידול הקביטציה שנוצרת מאחורי מדחפי אוניות.

במכניקת הזורמים, משוואת ריילי-פלסט היא משוואה דיפרנציאלית רגילה, המתארת את הדינמיקה של בועה כדורית המצויה בזורם אי-דחיס. צורתה הכללית נכתבת בדרך כלל כך

$R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2\gamma }{\rho _{L}R}}+{\frac {\Delta P(t)}{\rho _{L}}}=0$

כאשר:

$\rho _{L}$ היא צפיפותו של הנוזל המקיף את הבועה, שמניחים שהיא קבועה,

$R(t)$ הוא רדיוס הבועה,

$\nu _{L}$ היא הצמיגות של הנוזל מסביב לבועה, שמניחים שהיא קבועה,

$\gamma$ הוא מתח הפנים בממשק של הבועה והנוזל,

$\Delta P(t)=P_{\infty }(t)-P_{B}(t)$, כאשר $P_{B}(t)$ הוא הלחץ בתוך הבועה, שמניחים שהוא אחיד בתוך הבועה, ו-$P_{\infty }(t)$ הוא הלחץ החיצוני במרחק אינסופי מהבועה.

בהנחה ש-$P_{B}(t)$ ידוע ו- $P_{\infty }(t)$ נתון, משוואת ריילי-פלסט יכולה לשמש כדי למצוא את רדיוס הבועה המשתנה בזמן $R(t)$.

למשוואת ריילי-פלסט חשיבות רבה במידול תופעות הקשורות ברתיחה של נוזלים, ומשום שמעבר פאזה של נוזל לגז תמיד מתחיל מבועות אדים זעירות (המכונות אתרי התגרענות; ראו גם התגרענות) שתופחות במהרה לכדי בועות גדולות יותר; משוואת ריילי-פלסט מאפשרת לחשב את זמן הגידול של הבועה בתחום האינרציאלי של גידול הבועה, כלומר בתחום הגדלים שבו האינרציה של הזורם היא הדומיננטית (ולא הולכת החום בממשק נוזל-בועה).

היסטוריה

בהזנחת מתח הפנים והצמיגות, המשוואה נגזרה לראשונה על ידי ויליאם הנרי בסנט בספרו על הידרודינמיקה מ-1859 במסגרת פתרון בעיה שמנוסחת כדלהלן: מסה אינסופית של זורם אי-דחיס והומוגני שלא פועלים עליו שום כוחות נמצא במנוחה, כשלפתע נפער חלל כדורי בתחום הזורם; נדרש למצוא את השינוי בלחץ בכל נקודה של המסה, ואת הזמן שייקח לחלל להתמלא לגמרי בזורם, בהינתן שהלחץ במרחק אינסופי נשאר קבוע. תוך שהוא מזניח את השינויים בלחץ בתוך הבועה, בסנט חזה שהזמן שייקח למלא את החלל הוא

${\begin{aligned}t&=a\left({\frac {6\rho }{p_{\infty }}}\right)^{1/2}\int _{0}^{1}{\frac {z^{4}\,dz}{\sqrt {1-z^{6}}}}\\&=a\left({\frac {\pi \rho }{6p_{\infty }}}\right)^{1/2}{\frac {\Gamma (5/6)}{\Gamma (4/3)}}\\&\approx 0.91468a\left({\frac {\rho }{p_{\infty }}}\right)^{1/2}\end{aligned}}$

כאשר חישוב האינטגרציה נעשה על ידי ג'ון ויליאם סטראט ריילי ב-1917, שגזר את המשוואה ממאזן אנרגיה. ריילי זיהה גם שההנחה של לחץ קבוע בתוך החלל תהפוך לשגויה כאשר הרדיוס יקטן והראה, באמצעות חוק בויל, שאם רדיוס החלל קטן בפקטור של $4^{1/3}$, אז הלחץ בסמוך לשפת החלל הופך גדול יותר מהלחץ באינסוף. המשוואה יושמה לראשונה לבועות קביטציה נעות על ידי מילטון ספינוזה פלסט ב-1949 באמצעות כלילת האפקט של מתח פנים במשוואה.

גזירת המשוואה עבור צמיגות זניחה

אינטגרציה נומרית של משוואת ריילי-פלסט כולל איברי מתח הפנים והצמיגות במקרה של בועה הנתונה ללחץ חיצוני המשתנה באופן סינוסואידלי (למשל, כתוצאה מסיבוב הלהבים של מדחף אוניה). בעוד שהיא בתחילה במנוחה בלחץ אטמוספירי וברדיוס 50 מיקרומטר, עקב התנודות בלחץ הבועה גדלה והתדירות הטבעית שלה עוברת התרחבות, עד שלבסוף היא קורסת.

אינטגרציה נומרית של משוואת ריילי-פלסט כולל איברי מתח הפנים והצמיגות במקרה של נפילת לחץ פתאומית. כשהיא בתחילה במנוחה בלחץ אטמוספירי וברדיוס 50 מיקרומטר, הבועה הנתונה לנפילת לחץ מתפשטת, ולאחר מכן קורסת.

משוואת ריילי-פלסט ניתנת לגזירה מעקרונות ראשוניים בעזרת רדיוס הבועה כמשתנה הדינמי. נתייחס לבועה כדורית עם רדיוס משתנה בזמן $R(t)$. נניח שהבועה מכילה גז/אדים המפולגים בבועה טמפרטורה $T_{B}(t)$ ולחץ $P_{B}(t)$ אחידים. מסביב לבועה מצוי תחום אינסופי נוזל עם צפיפות קבועה $\rho _{L}$ וצמיגות $\mu _{L}$. יהיו הטמפרטורה והלחץ רחוק מהבועה $T_{\infty }$ ו-$P_{\infty }(t)$. נניח שהטמפרטורה $T_{\infty }$ היא קבועה. במרחק רדיאלי $r$ ממרכז הבועה, תכונות הנוזל המשתנות בזמן הן הלחץ $P(r,t)$, הטמפרטורה $T(r,t)$, והמהירות הרדיאלית החוצה $u(r,t)$. שימו לב שתכונות הנוזל הללו מוגדרות רק מסביב לבועה, בעבור $r\geq R(t)$.

את משוואת ריילי-פלסט נגזור בשני שלבים:

• תחילה נניח שהלחץ בתוך הבועה שווה ללחץ הנוזל פחות הלחץ הקפילרי, כך שהפרש הלחצים מתאפס והדינמיקה של הבועה נשלטת על ידי שימור האנרגיה הקינטית של הזורם בכל המרחב.
• לאחר מכן נקבע תנאי שפה מתאימים ונראה שכאשר לחץ האדים בתוך הבועה גדול יותר מהפרש לחץ הנוזל מחוץ לבועה והלחץ הקפילרי, אז הנגזרת לפי הזמן של סך האנרגיה הקינטית יחסית להפרש הלחצים.

שלב ראשון

שימור המסה

משימור המסה, חוק היפוך הריבוע דורש שהמהירות הרדיאלית החוצה $u(r,t)$ חייבת להיות יחסית הפוכה לריבוע המרחק מהראשית (מרכז הבועה). לפיכך:

$u(r,t)={\frac {R^{2}}{r^{2}}}u(R,t)={\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {dR}{dt}}$

קביעת האנרגיה הקינטית בכל המרחב

בעזרת הקשר בין המהירות הרדיאלית של הנוזל בכל רדיוס r לקצב הגידול של הבועה ${\frac {dR}{dt}}$ ניתן לקבוע, באמצעות אינטגרל על כל המרחב, את סך האנרגיה הקינטית של הזורם:

$E_{k}={\frac {1}{2}}\int _{R}^{\infty }4\pi \rho _{L}r^{2}u^{2}(r,t)dr=\int _{R}^{\infty }2\pi \rho _{L}R^{4}({\frac {\frac {dR}{dt}}{r}})^{2}dr=2\pi \rho _{L}({\frac {dR}{dt}})^{2}R^{3}$

נשים לב שמכיוון שבהיעדר הפרש לחצים האנרגיה הקינטית הכוללת נשמרת, הגדלת רדיוס הבועה R חייבת להיות מלווה בהאטת קצב גידול הבועה ${\frac {dR}{dt}}$ על מנת לשמר את המכפלה בביטוי לאנרגיה קינטית קבועה.

שלב שני

כאשר הבועה תופחת בשיעור אינפיניטסימלי $dV$, היא מבצעת עבודה חיובית על הנוזל שיחסית לשינוי הנפח שלה וללחץ $P_{R}(t)$ במשטח החיצוני של הממשק נוזל-בועה. מצד שני, לפי עקרון הרציפות (שימור המסה), גם "באינסוף" הנוזל תופח בקליפה כדורית בעלת נפח $dV$ (על מנת לשמר את סך נפח הנוזל; שכן הנחנו אי-דחיסות), ולפיכך מתבצעת על הנוזל עבודה שלילית $-P_{\infty }dV$. לפיכך הנגזרת של הביטוי לסך האנרגיה הקינטית הכוללת בכל המרחב מקיימת:

${\frac {d(2\pi \rho _{L}({\frac {dR}{dt}})^{2}R^{3})}{dt}}=(P_{R}(t)-P_{\infty }){\frac {dV}{dt}}=(P_{R}(t)-P_{\infty })\cdot 4\pi R^{2}{\frac {dR}{dt}}$

הלחץ בחלקו החיצוני של הממשק נוזל-בועה שווה ללחץ הקפילרי ועוד לחץ האדים בתוך הבועה (נשים לב שכאן מתקבל מצב הפוך מזה של טיפת מים נוזליים, שם הלחץ בתוך הטיפה גדול מהלחץ החיצוני; הסיבה לכך היא שהלחץ הקפילרי פועל תמיד לכיוון הפאזה הנוזלית, כך שבמקרה של בועה הוא פועל כלפי חוץ):

$P_{R}=P_{vapour}+{\frac {2\gamma }{R}}$

קיבלנו איפה

${\frac {d(2\pi \rho _{L}({\frac {dR}{dt}})^{2}R^{3})}{dt}}=-(\Delta P(t)+{\frac {2\gamma }{R}})\cdot 4\pi R^{2}{\frac {dR}{dt}}$

לאחר פיתוח הנגזרת של אגף שמאל בהתאם לכלל המכפלה לנגזרות וצמצום איברים בשני האגפים, מקבלים את משוואת ריילי-פלסט במקרה של צמיגות זניחה:

${\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {2\gamma }{\rho _{L}R}}$

פתרונות

לאחרונה, פתרונות אנליטיים סגורים למשוואת ריילי-פלסט נמצאו הן עבור בועה ריקה ובועה מלאה בגז, והוכללו ל-N ממדים. המקרים שבהם מתח הפנים חשוב נחקרו לעומק גם כן.

בנוסף, בעבור המקרה המיוחד שבו ניתן להזניח את מתח הפנים והצמיגות, קירובים אנליטיים מסדר גבוה ידועים.

במקרה הסטטי, משוואת ריילי-פלסט מצטמצמת למשוואת יאנג-לפלס:

$P_{B}-P_{\infty }={\frac {2\gamma }{R}}$

כאשר מניחים רק שינויים אינפיניטסימליים מחזוריים ברדיוס הבועה ובלחץ שלה, משוואת ריילי-פלסט מניבה את הביטוי לתדירות הטבעית של תנודת בועה רדיאלית של בועות קטנות:

$f_{0}={1 \over 2\pi R_{0}}{\sqrt {{3p_{0} \over \rho }+{4\gamma \over \rho R_{0}}}}$

כאשר $R_{0},p_{0},\rho ,\gamma$ הם רדיוס הבועה במצב שיווי משקל, לחץ הנוזל מסביב לבועה במצב יציב, צפיפות הנוזל ומתח הפנים בהתאמה. המודל שמניב נוסחה זו מניח התנהגות איזותרמית של לחץ האדים בבועה הקטנה, הנחה הגיונית היות שבועות קטנות נוטות להיות בשיווי משקל תרמי עם הנוזל המקיף אותן (שמתפקד כמאגר חום). .

מקורות

• On the pressure developed in a liquid during the collapse of a spherical cavity, Lord Rayleigh

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

29452506משוואת ריילי-פלסט