משפט בלוך-לנדאו

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באנליזה מרוכבת, משפטי בלוך-לנדאו הם משפטים בדבר פונקציה הולומורפית בעיגול היחידה המקיימת הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle |f'(0)|=1} . המשפט הוא אחד השלבים המרכזיים בהוכחת משפט פיקארד הקטן. הם נקראים על שמם של המתמטיקאים אנדרי בלוך ואדמונד לנדאו.

משפט בלוך

משפט בלוך - תהי פונקציה הולומורפית בעיגול היחידה המקיימת . אזי קיים קבוע כך שהפונקציה הפיכה בכדור הפתוח ברדיוס . כלומר, קיימת פונקציה הולומורפית כך ש- היא הזהות על כדור כנ"ל.

הקבוע האופטימלי שמקיים את משפט בלוך נקרא קבוע בלוך, וערכו לא ידוע עד היום. בכל זאת, ידוע חסם לא רע - הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle 0.4332\approx {\frac {\sqrt {3}}{4}}+2\times 10^{-4}\leq B\leq {\sqrt {\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {1}{3}})\Gamma ({\frac {11}{12}})}{\Gamma ({\frac {1}{4}})}}\approx 0.4719} .

משפט לנדאו

משפט לנדאו (לעיתים גם משפט בלוך-לנדאו) - תהי פונקציה הולומורפית בעיגול היחידה המקיימת . אזי תמונת מכילה כדור ברדיוס חיובי .

הקבוע האופטימלי המקיים את משפט לנדאו נקרא קבוע לנדאו; ניתן להוכיח דיי בקלות כי , וטיעונים מסובכים יותר מראים כי הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle 0.5<L<0.544} בערך. גם הערך של לא ידוע.

משפט ואלירון

המשפט נקרא על שמו של המתמטיקאי הצרפתי ג'ורג ואלירון. משפט זה הביא את בלוך להוכיח את המשפט בנוסח לעיל.

משפט ואלירון - אם פונקציה שלמה לא קבועה, אז קיים עיגול ופונקציה אנליטית כך ש-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall z \in D : f(\phi(z))=z} .

למעשה, משפט ואלירון מתאים למשפט בלוך, לפי עקרון בלוך.

יישומים

במשפט פיקארד הקטן יש שימוש במסקנה ממשפט בלוך-לנדאו:

משפט: אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} פונקציה שלמה לא קבועה, אז תמונתה מכילה עיגול ברדיוס 1.

הוכחה: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} לא קבועה, תהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z_0 \in \mathbb{C}} עבורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'(z_0) \neq 0} . נגדיר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi (z)=\frac{1}{16} f(\frac{16}{f'(z_0)} z+ z_0)} . אז מקיימת את תנאי משפט לנדאו, ולכן מכילה כדור ברדיוס , ולכן מתקיים הדרוש.

ראו גם