פונקציה הולומורפית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
כל פונקציה הולומורפית שנגזרתה איננה מתאפסת בנקודה כלשהיא היא קונפורמית בה – היא העתקה משמרת זוויות בין עקומים (בתמונה: תמונתה של רשת מלבנית תחת העתקה קונפורמית)

פונקציה הולומורפית היא פונקציה מרוכבת של משתנה מרוכב אחד או יותר, הגזירה במובן המרוכב בסביבת כל נקודה בתחומה. אלו הן הפונקציות המרכזיות שנחקרות בתורה של האנליזה המרוכבת.

ביתר פירוט, פונקציה הולומורפית היא פונקציה בין קבוצות קשירות ופתוחות במישור המרוכב, שקיימת לה נגזרת מרוכבת בסביבת כל נקודה בתחומה.

מבוא

מכיוון שכל מספר מרוכב מזוהה עם זוג סדור של מספרים ממשיים, ניתן לראות בפונקציה מרוכבת פונקציה בין זוגות של מספרים ממשיים, או באופן שקול כפונקציה בין זוגות של משתנים ממשיים לבין המספרים מרוכבים. מזווית הראייה הזו, התכונה המהותית של גזירות מרוכבת, או הולומורפיות, היא שהנגזרת הכיוונית בנקודה כלשהי בתחום איננה תלויה במסלול שאותו עושה המשתנה במישור המרוכב בדרכו לנקודה; עבור כל המסלולים שבהם יכול לנוע המשתנה המרוכב בדרך אל הנקודה, נגזרת הפונקציה בנקודה זהה (ובאופן כללי תהיה מספר מרוכב). לכן, הולומורפיות היא תכונה שונה מקיומן של נגזרות חלקיות עבור 2 המשתנים הממשיים – משמעותה לא רק שהנגזרות החלקיות הללו קיימות, אלא גם שהן קשורות זו לזו באופן הדוק: קשר המבוטא במשוואות קושי-רימן[1].

האנליזה המרוכבת היא תורה פשוטה יותר, ובמובנים רבים שלמה יותר, מן האנליזה הממשית. פונקציה ממשית יכולה להיות גזירה, אבל הנגזרת שלה עלולה שלא להיות גזירה. היא עשויה להיות גזירה פעמים, אבל לא . היא עשויה להיות גזירה כל מספר פעמים שהוא, מבלי שיהיה לה יצוג כטור חזקות. אף אחד מן ה"חסרונות" הללו אינו קיים באנליזה המרוכבת. אם פונקציה היא הולומורפיות, גם הנגזרת שלה פונקציה הולומורפית (ולכן היא גם גזירה אינסוף פעמים). יתרה מזאת – יש לה יצוג כטור חזקות; לכן כל פונקציה הולומורפית היא אנליטית. גם המשפט ההפוך נכון – כל פונקציה אנליטית מרוכבת היא הולומורפית, ובמסגרת האנליזה המרוכבת משתמשים בשני המושגים באותה משמעות. יש לציין אמנם, שלא היה מלכתחילה ברור שכך המצב, והתגלית ששתי התכונות הללו אכן שקולות היתה תגלית מרכזית בהיסטוריית האנליזה המרוכבת.

החשיבות האדירה של הפונקציות ההולומורפיות במתמטיקה מקורה בכך שרבות מהפונקציות המרוכבות בעלות החשיבות בענפי המתמטיקה השונים הן הולומורפיות. למשל פולינומים, הסינוס, האקספוננט, פונקציית הזטא של רימן, ואף העתקות קונפורמיות (משמרות זווית) במישור[2] – כולן פונקציות הולומורפיות. משפט ההעתקה של רימן מראה במובן מסוים עד כמה רחב המגוון האפשרי של פונקציות הולומורפיות, שעשוי להראות דל בתחילה. התורה של הפונקציות ההולומורפיות היא תורה מפותחת היטב, וטבען המופשט של פונקציות כאלו מובן בצורה טובה יחסית.

לעיתים קוראים לפונקציות הולומורפיות בשם פונקציות רגולריות.

פונקציה שהיא הולומורפית בכל המישור המרוכב נקראת פונקציה שלמה. כאשר אומרים על פונקציה שהיא "הולומורפית בנקודה", הכוונה לכך שהיא גזירה בסביבה כלשהי של הנקודה.

טרמינולוגיה

המונח "הולומורפית" הוצג על ידי תלמידיו של אוגוסטן לואי קושי[3], בריו (1817–1882) וז'אן־קלוד בוקה (1819–1885), ומקורו במלים היווניות ὅλος (שָׁלֵם, מלא) ו־μορφή (צורה, מראה). כיום, לעיתים המושגים פונקציה הולומורפית ופונקציה אנליטית משמשים במשמעות זהה, למרות שהאחרון הוא מושג כללי יותר.

הגדרה פורמלית

תהי קבוצה קשירה ופתוחה במישור המרוכב. תהי פונקציה מרוכבת. נאמר כי גזירה במובן המרוכב בנקודה אם הגבול (1) קיים. הנקודה החשובה בהגדרה הזו היא שהגבול אינו תלוי בבחירת מסלול המשתנה בדרכו לנקודה .

קיום הגבול (1) הוא מצב שקול לקיום קשר, שניתן לתאר באמצעות משוואה דיפרנציאלית חלקית, בין הנגזרות החלקיות של הפונקציות הממשיות המרכיבות את – אלו הן משוואות קושי-רימן – ועל ידי תכונת הדיפרנציאביליות של הפונקציות הממשיות המרכיבות את .

אם הפונקציה גזירה בכל נקודה , נאמר עליה שהיא הולומורפית בקבוצה . ניסוח נקודתי שקול להולומורפיות הוא: היא הולומורפית בנקודה אם היא גזירה בנקודה ובסביבתה. שקילות שני הניסוחים נובעת ממשמעות מושג הקבוצה הפתוחה: קבוצה פתוחה היא קבוצה בה לכל נקודה קיימת סביבה המוכלת באותה קבוצה.

דוגמאות

כל פולינום במספרים מרוכבים הוא פונקציה הולומורפית בכל המישור המרוכב, וכך גם פונקציית האקספוננט , ופונקציות הסינוס והקוסינוס המרוכבות (הניתנות להגדרה באמצעות האקספוננט). הפולינומים ופונקציית האקספוננט הן פונקציות שלמות. דוגמאות פחות טריויאליות לפונקציות הולומורפיות הן פונקציית זטא של רימן או פונקציית גמא. בניגוד לפולינומים ולאקספוננט, פונקציות אלה אינן שלמות, ויש להן קטבים.

כיוון שהתנאי לגזירות במובן המרוכב חזק יותר מגזירות במובן הממשי, קיימות פונקציות "יפות" שאינן הולומורפיות, בניגוד לאינטואיציה הממשית. דוגמאות בולטות הן כאשר Arg פונקציית הארגומנט הראשי.

דוגמה נוספת היא הפונקציה . פונקציה זו הולומורפית בכל תחום הגדרתה, אך אינה הולומורפית בנקודה (וגם אינה מוגדרת בה). בכל נקודה אחרת היא גזירה, ולכן היא הולומורפית בקבוצה . עם זאת, קיים הגבול ולכן הפונקציה מתנהגת יפה, במובן מסוים. נקודה שבה הגבול הוא אינסוף נקראת קוטב. פונקציה ההולומורפית בכל נקודה שאיננה קוטב בתחום כלשהוא, נקראת פונקציה מרומורפית באותו התחום.

קיימות גם פונקציות שאינן גזירות במובן חזק יותר. למשל, לפונקציה אין כלל גבול בנקודה . נקודה כזו נקראת סינגולריות עיקרית, והיא מקיימת תכונה מעניינת – לפי המשפט הגדול של פיקאר, אם פונקציה הולומורפית בתחום ו־ סינגולריות עיקרית בתחום, אזי התמונה של כל סביבה של היא כולה, למעט אולי נקודה אחת.

תכונות

הדגמה של תכונת הקונפורמיות. מוצגות שתי מסילות ישרות ותמונותיהן תחת ההעתקה . ניתן לראות כי בנקודת המפגש הזווית בין המסילות המקוריות שווה לזווית בין תמונותיהן
  • פונקציה הולומורפית היא רציפה.
  • סכום, מכפלה והרכבה של פונקציות הולומורפיות הוא פונקציה הולומורפית.
  • מנה של פונקציות הולומורפיות הוא פונקציה הולומורפית בתנאי שהמכנה אינו מתאפס.
  • כל פונקציה הולומורפית היא אנליטית: היא גזירה אינסוף פעמים וניתנת לתיאור על ידי טור טיילור.
  • ערכיה של פונקציה הולומורפית בתחום כלשהו (כולל שפתו) נקבעים בצורה יחידה על ידי הערכים שהפונקציה מקבלת על שפת התחום. זאת לפי נוסחת האינטגרל של קושי.
  • פונקציה הולומורפית נקבעת בכל התחום על פי ערכיה בקבוצה עם נקודת הצטברות. זהו משפט היחידות.
  • פונקציה הולומורפית שנגזרתה אינה מתאפסת בנקודה מסוימת היא קונפורמית – היא שומרת את הזווית בין עקומים שהיא מעתיקה. בצורה יותר כללית: אם כל הנגזרות שלה עד לנגזרת ה־ מתאפסות (לא כולל), היא מכפילה את הזווית בין העקומים שהיא מעתיקה פי .
  • עקרון המקסימום – פונקציה הולומורפית לא קבועה בתחום פתוח לא יכולה לקבל מקסימום (בערך מוחלט) בפנים התחום, אלא רק על שפתו.

אנליטיות

תכונה מרכזית של פונקציות הולומורפיות היא אנליטיות. תכונה זו נובעת מנוסחת אינטגרל קושי. די להראות זאת סביב 0. אם הולומורפית בעיגול , אזי לפי נוסחת אינטגרל קושי לכל בפנים של

מכיוון ש־ את האינטגרנד אפשר לפתח לטור הנדסי ולקבל:

כאשר ההתכנסות מובטחת ממבחן M של ויירשטראס. לפי נוסחת אינטגרל קושי לנגזרת מקבלים:

כלומר טור טיילור של מתכנס אליה.

הערה

באופן אנלוגי לאמור לעיל, פונקציה מרוכבת בכמה משתנים ההולומורפית ביחס לכל משתנה בנפרד נקראת גם היא פונקציה הולומורפית. גם במקרה זה ניתן להוכיח שפונקציה הולומורפית בכמה משתנים היא אנליטית (משפט הארטוגס).

ראו גם

הערות שוליים

  1. ^ אך לא בהן בלבד. על הפונקציה הממשית הזו להיות גם דיפרנציאבילית. ניתן להגיע למשוואות ללא קושי רב אם לוקחים בחשבון שפונקציה הולומורפית היא כזו שנגזרתה בנקודה כלשהיא איננה תלויה במסלול שעושה המשתנה בדרכו לנקודה, והקורא עשוי למצוא עניין בלגלות את המשוואות בכוחות עצמו.
  2. ^ כאשר ההעתקה היא בין 2 תחומים פשוטי קשר פתוחים במישור.
  3. ^ ממייסדי התחום הבולטים


Logo hamichlol.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0