משפט גלפנד-נאימרק

באנליזה פונקציונלית, משפט גלפנד-נאימרק מציג אלגברות סי כוכב כאלגברות של אופרטורים חסומים על מרחב הילברט, ומתאר את כל ההצגות האלה עבור אלגברות בנך עם אינבולוציה.

הצגות אופרטוריות וסימטריות

מורפיזם של אלגברות בנך עם אינבולוציה הוא הומומורפיזם רציף של אלגברות, שמתחלף עם פעולת האינבולוציה. דוגמה חשובה לאלגברת בנך עם אינבולוציה היא אלגברת האופרטורים החסומים על מרחב הילברט כלשהו, שבה הנורמה היא הנורמה האופרטורית והאינבולוציה נתונה על ידי העתקת אופרטור לאופרטור הצמוד (אכן, אנחנו עובדים מעל מרחב הילברט).

הצגה אופרטורית של אלגברת בנך היא מורפיזם ממנה אל אלגברת האופרטורים החסומים על מרחב הילברט כלשהו. כשרוצים להדגיש שמדובר בקטגוריה של אלגברות בנך עם אינבולוציה, וממילא על המורפיזמים להתחלף עם פעולת האינבולוציה, מכנים הצגה כזאת הצגה סימטרית. כרגיל, הצגה נאמנה היא כזו שגרעינה אפס, והצגות על מרחבי הילברט שונים נקראות שקולות אם ישנו איזומורפיזם של מרחבי הילברט המעתיק את האופרטור שמתאימה הצגה אחת לאבר, לאופרטור שמתאימה לו ההצגה השנייה.

שאלות טבעיות הן, אפוא, האם לכל אלגברת סי כוכב יש הצגה סימטרית נאמנה, וכיצד ניתן להבין הצגות סימטריות של אלגברות בנך עם אינבולוציות. על שאלות אלה משיב משפט גלפנד-נאימרק.

ניסוח המשפט

1. לכל אלגברת סי כוכב ישנה הצגה סימטרית נאמנה.
2. לכל אלגברת בנך עם אינבולוציה קיים מורפיזם לאלגברת סי כוכב, כך שכל הצגה סימטרית של האלגברה המקורית מתפצלת דרך המורפיזם הזה ומורמת ממנו כהצגה של אלגברת הסי כוכב.

לקריאה נוספת

• A. A. Kirillov, "Elements of the Theory of Representations"