משפט האידיאל הראשי

משפט האידיאל הראשי של ולפגנג קרול קובע שבתחום שלמות נתרי, אידיאל ראשוני שהוא מינימלי מעל איבר, הוא מינימלי. משפט זה, והכללות שלו, מאפשר לחשב את הגובה של אידיאלים ראשוניים, ודרך זה את ממד קרול של חוגים שונים.

אומרים שאידיאל ראשוני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} הוא מינימלי מעל $a$ אם אין ראשוני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a \in Q \subset P} , וסתם מינימלי אם אין ראשוני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q} כך ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0 \subset Q \subset P} . לפי ההגדרה, ראשוני מינימלי הוא ראשוני בעל גובה 1 לכל היותר.

מן המשפט נובעת גם התוצאה הכללית יותר ("משפט האידיאל הראשי המוכלל"), שאידיאל ראשוני שהוא מינימלי מעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a_1,\dots,a_n} הוא מגובה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} לכל היותר. בפרט, הגובה של אידיאל ראשוני חסום (מלמעלה) על ידי מספר היוצרים שלו. ולהפך: אידיאל מגובה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} אי-אפשר ליצור בפחות מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} איברים. בפרט, בחוג נתרי קומוטטיבי לכל אידיאל ראשוני יש גובה סופי. מכיוון שממד קרול הוא הסופרימום של גבהי האידיאלים המקסימליים, נובע מכאן גם שלתחום שלמות מקומי יש ממד קרול סופי.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט האידיאל הראשי28190889Q3527241