משפט האידיאל הראשי

משפט האידיאל הראשי של ולפגנג קרול קובע שבתחום שלמות נתרי, אידיאל ראשוני שהוא מינימלי מעל איבר, הוא מינימלי. משפט זה, והכללות שלו, מאפשר לחשב את הגובה של אידיאלים ראשוניים, ודרך זה את ממד קרול של חוגים שונים.

אומרים שאידיאל ראשוני $P$ הוא מינימלי מעל $a$ אם אין ראשוני $a\in Q\subset P$, וסתם מינימלי אם אין ראשוני $Q$ כך ש- $0\subset Q\subset P$. לפי ההגדרה, ראשוני מינימלי הוא ראשוני בעל גובה 1 לכל היותר.

מן המשפט נובעת גם התוצאה הכללית יותר ("משפט האידיאל הראשי המוכלל"), שאידיאל ראשוני שהוא מינימלי מעל $a_1,\dots ,a_n$ הוא מגובה $n$ לכל היותר. בפרט, הגובה של אידיאל ראשוני חסום (מלמעלה) על ידי מספר היוצרים שלו. ולהפך: אידיאל מגובה $n$ אי-אפשר ליצור בפחות מ-$n$ איברים. בפרט, בחוג נתרי קומוטטיבי לכל אידיאל ראשוני יש גובה סופי. מכיוון שממד קרול הוא הסופרימום של גבהי האידיאלים המקסימליים, נובע מכאן גם שלתחום שלמות מקומי יש ממד קרול סופי.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט האידיאל הראשי28190889Q3527241