תחום שלמות

באלגברה מופשטת, תחום שלמות הוא חוג חילופי עם יחידה כפלית שאין בו מחלקי אפס (כלומר: אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ab=0} , אז בהכרח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=0} או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b=0} ). בין הדוגמאות החשובות ניתן למצוא כל חוג שאיבריו הם מספרים ממשיים, ומכאן חשיבותה של המשפחה הזו בתורת המספרים האלגברית.

מחלקי אפס

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת: ערך מורחב – מחלק אפס

אחת השאלות הראשונות שאפשר לשאול לגבי חוג כללי, היא האם החוג הוא למעשה חלק משדה. אם החוג הוא באמת חלק משדה, אז חלק מהתכונות הטובות של השדה עוברות אליו בירושה. לדוגמה, אולי לא כל איבר בחוג יהיה הפיך אך ניתן לצמצם שוויונות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ac =bc \ \Rightarrow \ a=b}

תנאי הכרחי בשביל שחוג יהיה תת-חוג של שדה היא שהכפל בו יהיה קומוטטיבי, אך זה לא תנאי מספיק - קיימים חוגים קומוטטיביים שלא ניתן לשכן בשדה. לדוגמה בחוג המספרים השלמים מודולו 4, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}_4} , שהוא חוג קומוטטיבי, מתקיים השוויון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2 \cdot 3 = 2 \cdot 1 \mbox{ (mod 4)}} , אף על פי שלא ניתן לצמצם את המשוואה; הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3 \ne 1 \mbox{ (mod 4)}} .

תנאי הכרחי נוסף, הוא שלא יהיו בחוג מחלקי אפס- שני איברים שונים מאפס שמכפלתם מתאפסת. איברים כאלו הם לא הפיכים באופן בסיסי, כלומר בכל הרחבה של החוג הם בהכרח יישארו לא הפיכים (הסיבה מפורטת בהמשך).

תחום שלמות הוא חוג שמקיים את שני התנאים ההכרחיים האלו (קומוטטיביות ואי קיום מחלקי אפס). יחד, התנאים אלו גם מספיקים, כלומר ניתן להרחיב כל תחום שלמות לשדה.

דוגמאות

כל שדה הוא תחום שלמות, כי הכפל בו קומוטטיבי וכל האיברים הפיכים- ובפרט הם אינם מחלקי אפס. הכיוון ההפוך לא נכון- לא כל תחום שלמות הוא שדה. לדוגמה חוג המספרים השלמים הוא תחום שלמות, כי אין בו מחלקי אפס והכפל בו הוא קומוטטיבי, אבל למשל למספר 2 אין הפכי בחוג השלמים. דוגמה חשובה נוספת היא חוג הפולינומים עם מקדמים משדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} , אותו מסמנים ב- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F[x]} . זהו תחום שלמות שאינו שדה.

תכונות בסיסיות של תחומי שלמות

בכל חוג, איבר הפיך לעולם אינו מחלק אפס. הסיבה היא שאם האיבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} הפיך, ומתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ab=0} , אז אפשר לכפול את המשוואה הזו ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^{-1}} משמאל ולקבל ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b=0} . תכונה זו נכונה גם כשעוברים לחוג גדול יותר: אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D \subseteq R} הם חוגים ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\in D} הוא איבר הפיך דו-צדדי ב- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} , אז הוא אינו יכול להיות מחלק אפס ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} .

בתחום שלמות ניתן לצמצם שוויונות מימין ומשמאל: אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ac=bc} או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ca=cb} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c \neq 0} , אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=b} , כפי שאפשר לראות על ידי העברת אגפים.

הקשר בין תחומי שלמות לשדות

מכיוון שכל האיברים בשדה הם הפיכים, הם לא מחלקי אפס ולכן כל תת-חוג של שדה שמכיל את היחידה הכפלית מהווה תחום שלמות. גם ההפך נכון: כל תחום שלמות מהווה תת-חוג של שדה, הנקרא "שדה השברים" של התחום. שדה השברים כולל את כל המנות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{a}{b}} של איברים בחוג שבהן המכנה אינו אפס. למשל, שדה השברים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}} הוא שדה המספרים הרציונליים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Q}} , בעוד ששדה השברים של חוג הפולינומים הוא שדה הפונקציות הרציונליות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x) = \left\{\frac{f}{g}: f,g\in F[x],\, g\neq 0\right\}} . הבניה של שדה השברים מתוך התחום הנתון היא דוגמה למיקום (לוקליזציה).

בתחום שלמות, אוסף האיברים שאינם אפס סגור לכפל, ולכן מהווה מונואיד עם צמצום: אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ab=ac} אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b=c} . כל מונואיד סופי עם צמצום הוא חבורה, ולכן תחום שלמות סופי הוא שדה.

חלוקה בתחומי שלמות

עבור תחום שלמות קבוע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} , אומרים שאיבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} מחלק את האיבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} אם קיים איבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b=ac} (זוהי הכללה של ההגדרה הרגילה במספרים שלמים). כל איבר מחלק את $0$, ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} מחלק כל איבר. איבר המחלק את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} נקרא איבר הפיך (למשל: בחוג השלמים האיברים ההפיכים הם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1,-1} . בשדה, כל האיברים הם הפיכים פרט לאפס). איברים המחלקים זה את זה נקראים ידידים.

איבר של החוג נקרא אי-פריק, אם לא ניתן לכתוב אותו בצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ab} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} אינם הפיכים. ישנו סוג מיוחד של איברים אי-פריקים, הנקראים ראשוניים. איבר ראשוני הוא איבר שאינו יכול לחלק מכפלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ab} בחוג, מבלי לחלק לפחות את אחד הגורמים שלה. ראשוני מוכרח להיות אי-פריק (אם אפשר לפרק את הראשוני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} בצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p=ab} אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} מוכרח לחלק את אחד הגורמים, למשל את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} , ואז יוצא ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} הפיך), אבל ישנם איברים אי-פריקים שאינם ראשוניים (ראה דוגמאות בהמשך). שתי ההגדרות מכלילות את ההגדרה הרגילה למספרים ראשוניים (לפי הלמה של אוקלידס, בחוג המספרים השלמים איבר הוא ראשוני אם ורק אם הוא אי-פריק, והמספרים בעלי תכונה זו הם המספרים הראשוניים הרגילים).

דוגמה: בתחום-השלמות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R=\Z[\sqrt{-6}] = \{a+b\sqrt{-6} : a,b\in \Z\}} , האיבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2-\sqrt{-6}} אי-פריק, אבל אינו ראשוני (הוא מחלק את 10 אבל לא את הגורמים 2 או 5).

מחלקות של תחומי שלמות

קובץ:Integraldomainsdiagram.jpeg

סריג מחלקות של תחומי שלמות: דדקינד, פרופר ובזו, תחומים ראשיים, תחומי פריקות יחידה, תחומים אטומיים, תחומים בעלי gcd, ועוד.

התכונות של איברים אי-פריקים וראשוניים באות לידי ביטוי כשבוחנים את תהליך הפירוק לגורמים של איבר נתון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} . אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} אי-פריק, סיימנו לפרק אותו; אחרת, אפשר לכתוב את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} כמכפלה של איברים אחרים, ולהמשיך לפרק כל אחד מהם. בחוגים מסוימים (בעיקר חוגים נותריים) מובטח שהתהליך יעצר, בדיוק כפי שהתהליך של פירוק מספר שלם לגורמיו חייב להעצר. בסופו של פירוק כזה כתבנו את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} כמכפלה של איברים אי-פריקים (חוג שבו תמיד קיים פירוק כזה נקרא אטומי). לרוע המזל, (ולא כמו במספרים השלמים), פירוק כזה אינו חייב להיות יחיד. (דוגמה: המספרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2,3,\sqrt{-6}} בחוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} שהוגדר לעיל הם כולם אי-פריקים, והנה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 6 = 2 \cdot 3 = -1 \cdot \sqrt{-6} \cdot \sqrt{-6}} , שני פירוקים שונים לאותו מספר).

מתברר שאם הגורמים האי-פריקים בפירוק הם כולם ראשוניים, אז אין פירוקים אחרים (פרט לזה שאפשר להחליף גורם בידיד שלו, ולערבב את הגורמים ביניהם). תחום שלמות שבו כל איבר ניתן לפירוק כמכפלה של אי-פריקים, וזה ניתן להעשות באופן יחיד, נקרא תחום פריקות יחידה. בחוג כזה כל איבר אי-פריק הוא גם ראשוני.

ישנו תנאי המבטיח פריקות יחידה: תחום שלמות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} שבו כל אידיאל הוא אידיאל ראשי (כלומר מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Da = \{xa : x\in D\}} ), נקרא תחום ראשי. כל תחום ראשי הוא תחום פריקות יחידה, אבל ההפך אינו נכון (דוגמה: חוג הפולינומים בשני משתנים מעל שדה הוא תחום פריקות יחידה שאינו ראשי). לתחום ראשי יש ממד קרול 1, כלומר, כל אידיאל ראשוני שונה מאפס הוא מקסימלי.

כל חוג אוקלידי הוא תחום ראשי, וכל תחום ראשי הוא חוג דדקינד. כל חוג דדקינד הוא תחום שלמות נותרי וכל תחום שלמות נותרי הוא אטומי. בדיאגרמה משמאל מוצג סריג של מחלקות חשובות של תחומי שלמות: תחומי דדקינד, תחומי פרופר, תחומים ראשיים, תחומי פריקות יחידה, תחומי בזו, תחומים אטומיים, תחומים בעלי gcd, ועוד. השילוב של שתי תכונות הוא התכונה החלשה ביותר שחזקה משתיהן; כך למשל תחום פרופר נתרי הוא תחום דדקינד, תחום בזו אטומי הוא ראשי, וכן הלאה.

משפטי מבנה

קובץ:Modulesoverintegraldomains.jpeg

קשרים בין אידיאלים, אידיאלים שבריים ומודולים מעל תחום שלמות

חוג חילופי הוא ראשוני אם ורק אם הוא תחום שלמות. תחום שלמות פשוט הוא שדה. תחום שלמות שאינו שדה לא יכול להיות חוג ארטיני.

מעל תחום ראשי, כל מודול נוצר סופית הוא מכפלה ישרה של מודולים ציקליים. זוהי הכללה של משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית, ושל הפירוק של מטריצות לבלוקי ז'ורדן.

בדיאגרמה משמאל מוצגות כמה משפחות עיקריות של מודולים מעל תחום שלמות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} : אידיאלים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} , אידיאלים שבריים (תת-קבוצות מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d^{-1}I} של שדה השברים, כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d} איבר של החוג ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I} אידיאל שלו), ומודולים כלליים: חופשיים, פרויקטיביים, שטוחים וחסרי פיתול. החצים השחורים מסמנים גרירה לוגית של תכונה אחת לאחרת. החצים הצבעוניים מאפיינים מחלקה של תחומי שלמות: תחום שלמות מקיים את אחד החצים הכחולים אם ורק אם הוא דדקינד, ואז הוא מקיים את כולם; וכן לתחומי פרופר, בזו ולתחומי שלמות נתריים.

הכללות

חוג שאין בו מחלקי אפס, אבל הוא אינו בהכרח חילופי, נקרא תחום. הדוגמה הטיפוסית כאן היא תת-חוגים של חוגים עם חילוק, אבל יש דוגמאות לתחומים שאינם כאלה (הראשונה ניתנה על ידי Malc'ev ). בתחום אין אידיאלים שמאליים מינימליים, ולכן תחום ארטיני מוכרח להיות חוג עם חילוק. חוג בעל התכונה החלשה יותר "הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ,a^2\neq 0} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\neq 0} " נקרא חוג מצומצם; כל חוג מצומצם הוא מכפלה ישרה של תחומים.

חוג קומוטטיבי בלי יחידה שאין בו מחלקי אפס (כגון אוסף השלמים הזוגיים) אינו נחשב לתחום, משום שאין בו יחידה.

קישורים חיצוניים

• תחום שלמות, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

תחום שלמות30612609