משפט ההיטל המרכזי

במתמטיקה, משפט ההיטל המרכזי (אנגלית: Projection-slice theorem, לעיתים Fourier slice theorem) אומר כי שני התהליכים הבאים, עבור פונקציה $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ וישר $a$ דרך הראשית, נותנים את אותה התוצאה:

• לקחת את התמרת פורייה הדו-ממדית של $f$ ולקחת את הערכים שלה על הישר $a$ .
• להטיל את $f$ על הישר $a$ ולהפעיל על ההיטל התמרת פוריה.

למשפט שימושים רבים בטומוגרפיה.

ניסוח פורמלי

נסמן $P_{m}$ את אופרטור ההיטל על תת-מרחב לינארי מממד $m$ (היטל במובן של אינטגרל על המשלים האורתוגונלי בכל נקודה)

נסמן $S_{m}$ את אופרטור החיתוך עם אותו תת-המרחב שעובר דרך הראשית, ונסמן $F_{N},F_{m}$ את התמרת פורייה ב-$N,m$ ממדים בהתאמה.

אזי לכל פונקציה $f:\mathbb {R} ^{N}\to \mathbb {R}$ מתקיים:

$F_{m}P_{m}=S_{m}F_{n}$

הוכחה למקרה הדו-ממדי

סיבוב פונקציה סביב הראשית הוא פעולה המתחלפת עם התמרת פוריה, ולכן ניתן להניח ללא הגבלת הכלליות כי ההיטל והחיתוך מתבצעים על ציר $x$ .

נסמן את $f(x,y):\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ , ונסמן את ההיטל שלה על ציר $x$ להיות:

$p(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy$

והתמרת פורייה שלה להיות:

${\begin{aligned}F(k_{x},k_{y})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,e^{-2\pi (xk_{x}+yk_{y})i}dx\,dy\end{aligned}}$

אז החיתוך של התמרת הפורייה עם ציר $x$ הוא:

${\begin{aligned}s(k_{x})=F(k_{x},0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x,y)e^{-2\pi xk_{x}i}dx\,dy=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left[\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy\right]e^{-2\pi xk_{x}i}dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }p(x)e^{-2\pi xk_{x}i}dx\end{aligned}}$

וזו בדיוק התמרת פורייה של $p(x)$ .